Poruchový model, ukazatele spolehlivosti a jejich výpočet

Distribuční funkce F(x) jednorozměrné reálné náhodné veličiny X se definuje jako pravděpodobnost, že realizace této náhodné veličiny nepřekročí zvolenou hodnotu x. Grafické znázornění je uvedeno na Obr. 10 a matematicky ji vyjadřuje následující vztah.

$F(x)=P [X \leq x]= \int_{0}^{t}{f(r)}dt$ pro všechna t

Obr. 8: Grafické znázornění distribuční funkce .

Hustota pravděpodobnosti f(t) představuje funkci vyjadřující pravděpodobnost, že náhodná veličina T nabude hodnoty z nekonečně malého intervalu dt. Matematicky udává rychlost růstu distribuční funkce F(x) spojité náhodné veličiny (pravděpodobnost že dojde k poruše objektu za malý časový interval po daném okamžiku, dělená velikostí tohoto intervalu). Matematicky hustotu pravděpodobnosti vyjadřují níže uvedené vztahy.

$f(t)dt=P(t \leq T \leq t+dt)$

$f(t)= \frac{dF(t)}{dt}= \frac{dQ(t)}{dt}= \frac{d(1-R(t))}{dt}=- \frac{dR(t)}{dt}$

Pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t)

Funkce spolehlivosti vyjadřuje pravděpodobnost toho, že na intervalu (0, t) nedojde k poruše, tzn. pravděpodobnost bezporuchového provozu. R (t) je nerostoucí funkce času. Poruchový a bezporuchový stav objektu se vzájemně vylučují a jeden z nich vždy nastane. Proto platí:

$R(t)=P( \xi \geq t)$.

Pravděpodobnost poruchy Q(t)

Budeme-li uvažovat, že doba do poruchy x je nezáporná náhodná veličina s distribuční funkcí F(t). Pravděpodobnost poruchy vyjadřuje pravděpodobnost toho, že na intervalu (0, t) dojde k poruše; označuje se Q(t). Tato pravděpodobnost je shodná s distribuční funkcí náhodné proměnné x a je neklesající funkcí času, jejíž velikost se pohybuje v intervalu (0, 1).

$Q(t)=F(t)=P( \xi < t)$

Vzájemné vztahy mezi parametry R(t), Q(t) a plochou pod funkcí f(t) 

$\int_{0}^{+ \infty }{f(t)dt=1}$

$F(t)+R(t)=1$

$R(t)=1-F(t)=1- \int_{0}^{t_1}{f(t)dt}$

Obr. 9: Vyjádření vztahu mezi základními ukazateli spolehlivosti F(t), R(t), f(t).

Nejčastěji se bezporuchovost neobnovovaného výrobku udává intenzitou poruch definovanou jako poměr hustoty pravděpodobnosti poruchy a pravděpodobnosti bezporuchového provozu. Intenzita poruch udává pravděpodobnost poruchy za jednotku doby po okamžiku t za podmínky, že do tohoto okamžiku t nedošlo k poruše.

$\lambda(t)= \frac{f(t)}{R(t)} =- \frac{ \frac{dR(t)}{dt} }{R(t)}$

Obecně se za typický průběh intenzity poruch v závislosti na čase života výrobku považuje tzv. vanová křivka. Základní charakteristika jednotlivých oblastí je uvedena v následující tabulce.

Obr. 10: Časová závislost intenzity poruch - vanová křivka.

Tab. 2: Charakteristika oblastí vanové křivky.

V prvním úseku (A) křivka intenzity poruch klesá. Odpovídající časový interval se nazývá období častých poruch (období záběhu, období počátečního provozu, období osvojování atd.). Příčinou zvětšené intenzity poruch v tomto období jsou poruchy v důsledku výrobních vad, nesprávné montáže, chyb při návrhu nebo při výrobě apod.

Ve druhém úseku (B) dochází k běžnému využívání zaběhnutého výrobku, k poruchám dochází většinou z vnějších příčin, nedochází k opotřebení, které by změnilo funkční vlastnosti výrobku. Intenzita poruch je v tomto období přibližně konstantní. Příslušný časový interval se nazývá období normálního využívání.

Ve třetím úseku (C) procesy opotřebení a stárnutí mění funkční vlastnosti výrobku, projevují se nastřádané otřesy výrobku, trhliny materiálu v období (B) a intenzita poruch vzrůstá. Příslušný časový interval se nazývá období poruch dožitím.

 Přestože uvedená intenzita poruch je typická pro mnoho průmyslových výrobků, lze ji těžko vyjádřit v elegantním analytickém tvaru pro všechna tři období najednou. Při vlastní spolehlivostí analýze musíme většinou aproximovat intenzitu poruch jednoduchými analytickými funkcemi vždy po jednotlivých obdobích.

Neporouchaný objekt začne pracovat v okamžiku t = 0 za určitých podmínek, o nichž budeme zatím předpokládat, že se v průběhu času nemění. V okamžiku t = x se objekt porouchá. Doba x, po kterou objekt pracoval bez poruchy, se nazývá doba do poruchy.

Je nutné si uvědomit, co zde nazýváme časem, obvykle to záleží na konkrétní řešené úloze teorie spolehlivosti. Může jít o běžný kalendářní čas, provozní dobu, počet provedených cyklů atd. Důležitou úlohu při rozdělení doby do poruchy hrají číselné charakteristiky tohoto rozdělení, přičemž jednu z nejvýznamnějších představuje Střední doba bezporuchového provozu:

$T_S= \int_{0}^{ \infty }{R(t)dt}$, kde $R( \infty)=0; R(0)=1$.

Metriky doby do poruchy je možno členit na:

• MTTF - střední doba do poruchy (z anglického Mean Time To Failure) 

$MTTF= \frac{celkový \ počet \ hodin \ v \ provozu}{počet \ jednotek}$

• MTBF - střední doba mezi poruchami(z anglického Mean Time Between Failure)

$MTBF= \frac{celková \ doba \ provozu \ stroje}{počet \ poruch \ stroje \ za \ dané \ časové \ období}$

• MTTR - střední doba do opravy (z anglického Mean Time To Repair)

$MTTR= \frac{celková \ doba \ údržby}{celkový \ počet \ oprav}$

Jednotliví dílčí ukazatelé se určují na základě dříve definovaných veličin, případně na základě dat z konkrétního analyzovaného výrobního procesu.

Dalším ukazatelem spolehlivosti, který je možno použít pro hodnocení výrobků je Gama procentní život. Jedná se o dobu, za kterou pravděpodobnost bezporuchového stavu objektu dosáhne hodnotu γ% (např. 90%). Je definována vztahem:

$R(T _\gamma )= \frac{ \gamma\%}{100}$.

Veličiny F(t) a λ(t) mají rozměr [1/čas], obvykle se udávají v [1/hod] nebo [1/rok]. Každá ze čtyř základních veličin R(t), Q(t), f(t), λ(t) popisují stejně úplně bezporuchovost neopravovaného objektu a z každé z nich je možné odvodit tři zbývající. Vzájemné převody uvádí následující tabulka.

Tab. 3: Vzájemné převody mezi základními ukazateli spolehlivosti.