Řešení složitějších spolehlivostních schémat

1. Metody řešení

V předchozí kapitole jsme se věnovali problematice jednodušších spolehlivostních schémat, kdy bylo možno výslednou spolehlivost vypočítat postupným převodem na sériové, respektive paralelní systémy. V případě složitějších spolehlivostních schémat však nemusí být jednoznačně určená vnitřní struktura a tento postup není možno použít. V těchto případech se pro výpočet volí jiné, vhodnější metody.

1.1. Metoda rozkladu

Metoda rozkladu využívá věty pro úplnou pravděpodobnost. Nechť je dán úplný systém vzájemně neslučitelných jevů a libovolný jev A, který může nastat pouze současně s některým z jevů. Pro pravděpodobnost jevu platí:

Založena je na rozložení systému na několik jednoduchých podsystémů, které mají jednodušší strukturu. Prvním případem je situace, kdy klíčový prvek funguje, druhým pak případ kdy klíčový prvek nefunguje. 



1.2. Metoda cest

Jedná se o metodu vycházející ze spolehlivostního schématu, kdy jednotlivé prvky jsou nahrazeny hranami. Metoda vychází z popisu struktury systému pomocí orientovaného grafu a hodí se pro výpočet pravděpodobnosti bezporuchového provozu složitějších systémů, u kterých nenastávají vzájemné závislé poruchy prvků. Je třeba vysvětlit základní pojmy týkající se problematiky orientovaných grafů.

Orientované spojení - spojení mezi vstupem a výstupem vyjádřeno v hranách.

Orientovaná cesta - takové orientované spojení mezi vstupním a výstupním uzlem grafu, které prochází každým uzlem grafu nejvýše jednou. Orientovanou cestu lze také definovat jako minimální orientované spojení, tj. spojení obsahující minimální počet hran. Odstranění kterékoliv z hran tvořících cestu znamená přerušení cesty.

V případě metody cest je systém v provozu, pokud existuje alespoň jedna cesta (orientovaná cesta – množina prvků, které pokud fungují, existuje spojení mezi vstupem a výstupem).

Provozuschopný stav prvku se opět značí R_i, poruchový Q_i. Orientovaná cesty jsou pro předchozí spolehlivostní schéma:

Protože parametry jsou založeny na principu pravděpodobnosti, pro popsání funkčnosti je nutno uvažovat případy kdy fungují jednotlivé cesty, sjednocení dvou, tří atd. Pro výpočet výsledné pravděpodobnosti se pak použije následující vztah, u kterého se vždy střídají znaménka pro sčítání a odčítání pro jednotlivé členy (sjednocení dvou tří a více cest):

1.3. Metoda řezů

Obdobně jako v předchozím případě, jedná se o metodu vycházející ze spolehlivostního schématu, kdy jednotlivé prvky jsou nahrazeny hranami. Metoda řezů vychází z popisu struktury systému pomocí orientovaného grafu a hodí se pro výpočet pravděpodobnosti bezporuchového provozu složitějších systémů, u kterých nenastávají vzájemné závislé poruchy prvků. Je třeba vysvětlit základní pojmy týkající se problematiky orientovaných grafů.

Hranový řez orientovaného multigrafu, dále pro stručnost řez, mezi vstupním a výstupním uzlem grafu, je množina některých hran grafu, ze kterých je alespoň jedna hrana obsažena v každé cestě ze vstupního grafu. Odstranění všech hran řezu znamená přerušení všech drah mezi vstupním a výstupním uzlem.

Minimální řez je řez, který obsahuje minimální počet hran. Žádnou z hran minimálního řezu nelze vyloučit, jestliže mají hranami řezu procházet všechny cesty ze vstupního do výstupního uzlu grafu. 

-          systém nefunguje, pokud jsou v poruše prvky alespoň jednoho minimálního řezu.

-          při výpočtu pomocí metody řezů se k výpočtu používá parametr Q.

-          Nevýhodou je, že je obtížnější nalézt všechny cesty

Postup řešení je obdobný jako v případě metody cest jen s tím rozdílem, že k výpočtu se používá parametr pravděpodobnosti poruchy. Opět je nezbytné zahrnout případy samostatných řezů, sjednocení dvou, tří a více (v závislosti na celkovém počtu minimálních řezů). Pro schéma uvedené na Obr. 6.2 jsou minimálními řezy:

Velkou výhodu oproti metodě cest představuje možnost výpočtu odhadů pravděpodobnosti poruchy/bezporuchového provozu. Abychom dospěli k přibližné hodnotě pro dané spolehlivostní schéma, postačuje vypočítat případ pro samotné řezy. Zahrnutí všech dalších možností (sjednocení dvou, tří apod.) má za následek zpřesnění výsledné spolehlivosti.

1.4. Metoda řezů

Obdobně jako v předchozím případě, jedná se o metodu vycházející ze spolehlivostního schématu, kdy jednotlivé prvky jsou nahrazeny hranami. Metoda řezů vychází z popisu struktury systému pomocí orientovaného grafu a hodí se pro výpočet pravděpodobnosti bezporuchového provozu složitějších systémů, u kterých nenastávají vzájemné závislé poruchy prvků. Je třeba vysvětlit základní pojmy týkající se problematiky orientovaných grafů.

Hranový řez orientovaného multigrafu, dále pro stručnost řez, mezi vstupním a výstupním uzlem grafu, je množina některých hran grafu, ze kterých je alespoň jedna hrana obsažena v každé cestě ze vstupního grafu. Odstranění všech hran řezu znamená přerušení všech drah mezi vstupním a výstupním uzlem.

Minimální řez je řez, který obsahuje minimální počet hran. Žádnou z hran minimálního řezu nelze vyloučit, jestliže mají hranami řezu procházet všechny cesty ze vstupního do výstupního uzlu grafu. 

-          systém nefunguje, pokud jsou v poruše prvky alespoň jednoho minimálního řezu.

-          při výpočtu pomocí metody řezů se k výpočtu používá parametr Q.

-          Nevýhodou je, že je obtížnější nalézt všechny cesty

Postup řešení je obdobný jako v případě metody cest jen s tím rozdílem, že k výpočtu se používá parametr pravděpodobnosti poruchy. Opět je nezbytné zahrnout případy samostatných řezů, sjednocení dvou, tří a více (v závislosti na celkovém počtu minimálních řezů). Pro uvedené spolehlivostní schéma jsou minimálními řezy:

Velkou výhodu oproti metodě cest představuje možnost výpočtu odhadů pravděpodobnosti poruchy/bezporuchového provozu. Abychom dospěli k přibližné hodnotě pro dané spolehlivostní schéma, postačuje vypočítat případ pro samotné řezy. Zahrnutí všech dalších možností (sjednocení dvou, tří apod.) má za následek zpřesnění výsledné spolehlivosti.

1.5. Metoda seznamu

Jedná se o univerzální metodu pro určování spolehlivosti neobnovovatelných systémů. Metoda spočívá v popsání všech stavů zkoumaného systému pomocí základních stavů jeho prvků (v našem případě uvažujeme pouze dva stavy - provozuschopný stav a porucha). Princip metody si může ukázat na následujícím případu.

Zapojení je složeno ze tří prvků. Uvažujeme, že každý z těchto prvků se může s určitou pravděpodobností nacházet v jednom ze dvou základních stavů  (provozuschopném s pravděpodobností R nebo v poruše s pravděpodobností Q). Určíme tedy jednotlivé stavy celého systému pomocí všech možných kombinací stavů jednotlivých prvků v četně jejich pravděpodobností P₁, P₂, ..., P_n. Pro systém s n nezávislými prvky existuje při dvou základních stavech 2ⁿ možných stavů systému.

Pravděpodobnost bezporuchového provozu získáme sečtením pravděpodobnosti stavů pro případy, kdy analyzovaný systém funguje, pravděpodobnost poruchy pak sečtením pravděpodobností stavů kdy systém nefunguje.