Teorie obnovy

1. Teorie obnovy

Obnovované objekty jsou objekty, u nichž po vniku poruchy lze obnovit jejich provozuschopnost, tj. takový stav, ve kterém jsou schopny plnit stanovené funkce a dodržovat hodnoty parametrů v mezích stanovených v jejich technické dokumentaci. Při zkoumání spolehlivosti obnovovaných objektů se obvykle vychází z těchto zjednodušujících předpokladů:

•   procesem obnovy dochází k obnovení původních funkčních a spolehlivostních vlastností objektů
•   v objektech se vyskytující náhodné jevy (doby bezporuchového provozu, doby obnovení provozuschopnosti) vykazují statisticky určité rozdělení pravděpodobnosti jejich projevů (např. exponenciální, normální, Weibullovo) – tzv. parametrické předpoklady
•   platí dvoustavový model, tj. objekt vykazuje dva výrazné provozní stavy (provozuschopný stav a stav poruchového prostoje) a k přechodu z jednoho do druhého stavu dochází okamžitě
•   náhodné jevy (doby bezporuchového provozu a doby obnovy) jsou vzájemně nezávislé.

Při platnosti uvedených předpokladů lze spolehlivostní chování obnovovaných objektů modelovat dvouhodnotovou náhodnou funkcí  g(t) definovanou na definičním oboru D Î <0, 1 >:

g(t) = 1 objekt v čase t je bez poruchy (tj. v provozuschopném stavu)

g(t) = 0 objekt v čase t má poruchu (tj. je v poruchovém stavu)

Průběh funkce g(t) je určen posloupností náhodných veličin xi, pi, i = 1,2,... s významem

xi je náhodná doba bezporuchového provozu, měřená od okamžiku ukončení obnovy po (i - 1) poruše do okamžiku vzniku i-té poruchy (pro i = 1 měřená od okamžiku prvního uvedení do provozu)

pi je náhodná doba obnovy po vzniku i-té poruchy

Při platnosti uvedených předpokladů jsou xi a pi vzájemně nezávislé náhodné veličiny (tj. náhodné okamžiky vzniků poruch a ukončení obnov jsou nezávislé), náhodný proces určený jejich posloupností x1, x2,  p1, p2 ... se nazývá proces obnovy. Pro popis procesu obnovy se dělí podle délky dob obnov vzhledem k délkám dob bezporuchového provozu na dvě skupiny

a)      Jednoduchý proces obnovy, tj. proces s okamžitou obnovou, je proces obnovy se zanedbatelnou délkou doby obnovy vzhledem k době bezporuchového provozu

b)      Obecný proces obnovy je proces obnovy s konečnou a nezanedbatelnou délkou doby obnovy vzhledem k době bezporuchového provozu.

1.1. Obnovované objekty s jednoduchým procesem obnovy

Grafická interpretace jednoduchého procesu obnovy se nazývá také proud poruch.

Za předpokladu, že náhodné veličiny ξ1, ξ2,….. ξr (bezporuchový provoz) jsou vzájemně nezávislé a mají stejná rozdělení pravděpodobnosti určená distribuční funkcí F(t):

Pokud má doba provozu exponenciální rozdělení (prvky s konstantní intenzitou poruch), má počet obnov Poissonovo rozdělení a pravděpodobnost n poruch je dána vztahem:

1.2. Obnovované objekty s obecným procesem obnovy

Obecný proces obnovy vyjadřuje úplný cyklus činností obnovovaného objektu, tj. střídající se posloupnost jevů ξi (dob bezporuchového provozu) a následných jevů pi (dob obnovy provozuschopnosti).

Základní předpoklady - náhodné veličiny ξi, resp. pi, jsou vzájemně nezávislé a mají stejné zákony rozdělení pravděpodobnosti, popsané distribučními funkcemi F(t) pro ξi, respektive G(t) pro pi nebo hustotami pravděpodobnosti f(t), respektive g(t).

Ukazatelem spolehlivosti může být funkce obnovy H(t) – střední počet obnov v časovém intervalu 0 až t nebo hustota obnov:

kde F_0r je distribuční funkce náhodné veličiny  

a platí pro ni:

- 

- distribuční funkce pro poruchy 

- 

- distribuční funkce pro obnovy

1.3. Ukazatelé spolehlivosti obnovovaných systémů

Obdobně jako v případě neobnovovaných sytém, tak i zde je možno spolehlivost kvantifikovat pomocí ukazatelů spolehlivosti.  Mezi základní ukazatele se řadí:

• střední doba bezporuchového provozu / intenzita poruch

• střední doba obnovy provozuschopnosti / intenzita obnov

• součinitel pohotovosti - jeden z nejvýznamnějších ukazatelů, který je definován jako pravděpodobnost, že objekt bude v časovém okamžiku, kdy je po něm požadována činnost, pro níž je určen, v provozuschopném stavu.

• součinitel obnovy

• součinitel prostoje

• součinitel technického využití

• součinitel operační pohotovosti - ppst., že ustálený proces obnovy zařízení poběží určitý čas bez poruchy

1.4. Součinitel pohotovosti

Pro ustálenou hodnotu poté platí následující vztah, který je vyjádřen pomocí parametrů intenzity poruch a obnov. S ohledem na známé souvislosti mezi parametry intenzit a časů je možno tento vztah vyjádřit i pomocí doby bezporuchového provozu a doby obnovy.