1. Cesta ke slovní úloze

Slovní úloha je zpravidla úloha z praxe, ve které je popsána určitá reálná situace, určitý problém, který budeme matematicky řešit.

            Na stavbě pracovalo 19 lidí. Zedníků bylo 7. Ostatní lidé pomáhali. Kolik lidí pomáhalo?       Jedná se o slovní úlohu.

            Číslo 19 zmenši o 7. Jaké číslo dostaneš?   Není slovní úloha, není z praktického života.

 

Způsoby zadání slovní úlohy:

• obrázkem – na začátku 1. ročníku,
• slovním textem – ke konci 1. ročníku a v dalších ročnících,
• kombinací obou způsobů – v 1. ročníku.

 

? V učebnici Matematika se Čtyřlístkem pro 1. ročník, 1. díl (Halasová, Kozlová, Pěchoučková) najdete na str. 40 slovní úlohy zadané dvěma různými způsoby. Vyhledejte v jiných učebnicích pro 1. ročník různé způsoby zadání slovních úloh.

 

Schéma slovní úlohy

Každá slovní úloha obsahuje zadané údaje a otázku.

Teta má 5 klubíček vlny. Ole dá 4 klubíčka. Kolik klubíček vlny jí zbyde?

 

Fáze řešení slovní úlohy

1. Rozbor

• seznámení s textem úlohy: V 1. ročníku říká text podle obrázku učitel, později vymýšlejí text žáci sami. Ve vyšších ročnících text čtou žáci (dobří čtenáři) a učitel nechá prostor pro to, aby si text ještě každý žák mohl přečíst potichu sám. Poté se učitel přesvědčí, zda všichni žáci rozumějí všem slovům v textu, v opačném případě si je vysvětlí.
• zápis slovní úlohy: V 1. ročníku se většinou neprovádí, ve 2. ročníku je zápis předtištěný, žáci doplňují pouze čísla. Později žáci provádějí zápis sami. Měli by si uvědomit, co znají a co mají vypočítat.
• znázornění

2. Matematizace problému – pomocí příkladu nebo rovnice
3. Řešení úlohy – výpočet příkladu nebo řešení rovnice
4. Zkouška – zjistit, zda řešení odpovídá reálné situaci
5. Odpověď – odpověď celou větou. V nižších ročnících žáci doplňují číselné údaje do předem připravené věty, později je odpověď připravena pomocí nedokončené věty, kterou žáci doplní nebo žáci vytvoří odpověď sami.

 

? V pracovním sešitě Matematika se Čtyřlístkem pro 2. ročník, 2. díl (Kozlová, Pěchoučková, Rakoušová) si na str. 20 a 21 u úloh 8 a 10 prohlédněte celý text týkající se těchto úloh. Text doplňte a rozlište jednotlivé fáze řešení.

 

 

Ukázka řešení slovní úlohy ze 2. ročníku

 

Kája dostává k snídani každý den 2 rohlíky. Kolik rohlíků dostane k snídani za celý týden?

 

každý den ................2 rohlíky

za celý týden ............?

7 . 2  = 14

Za celý týden dostane Kája k snídani 14 rohlíků.

 

Typologie slovních úloh

• podle počtu použitých operací,
• jednoduché – řeší se pomocí jedné početní operace,
• složené – řeší se pomocí dvou a více početních operací, které mohou být i stejné,
• podle zadaných údajů,
• s nadbytečnými údaji,
• s neúplnými údaji.

 

Příprava na řešení slovních úloh v mateřské škole

Co dítě potřebuje k řešení slovní úlohy:

• naslouchat, soustředit se, zapamatovat si,
• převyprávět, orientovat se ve vyprávění,
• umět k vyprávění nebo popisu udělat obrázek,
• z textu vybrat informace a zjednodušit si je,
• z obrázku vyčíst informace,
• zaznamenat v textu čísla,
• tvořit celou větu,
• porozumět otázce a vědět, jak se na otázku reaguje.

Dítě musí umět rozlišit

• druh otázky (na co se otázkou ptáme):

Kdo? (osoba, zvíře)

Co? (věc, děj)

Kde? (zpravidla statické místo – doma, ve škole, na hřišti…..)

Kam? (cíl cesty - do školy, domů)

Kudy? (okolo, přes, mezi…)

Jak? (způsob – rychle, pomalu…)

Jaký (vlastnost – červený, malý…)

Který? (výčet – první obrázek…)

Záměna otázek typu jaký – který, jak – jaký, kdo – co, kde – kam je ovlivněna nekulturností televizního vysílání a dabingů. Jak – kudy může někdy splývat.

• vztahy u sloves:

Co je dřív – přišel x půjde

                    snědl x jí

Co trvalo kratší dobu – procházel se x prošel se

                                     podával x podal

 

Aktivity připravující dítě na řešení slovních úloh

1. poslech a zpracování představ a jejich kontrola

a)   manipulativní zpracování: Poslouchej. Vyber obrázek, na kterém je to, co bylo v pohádce. Vyber obrázek, na kterém je to, co nebylo v pohádce.

b)     grafický záznam vyslechnuté informace (transformace mluveného kódu do kódu grafického – od 4,5 let)

• diktát jednotlivých slov (jablko, dům…), ke kterým dítě vytváří jednoduchý obrázek, motivujeme např. snahou vysvětlit cizinci, co znamená jablko,
• lustrace k příběhu – vytvoření obrázku k části vyprávění, která dítě zaujala,
• diktát obrázku.

c)      dramatizace – dětem vyprávíme pohádku a děti podle vyprávění hrají s maňásky

2.      paměť, rozvoj jazyka

a)      přesná reprodukce krátké pohádky

b)     oprav (nadbytečná informace, chybné pořadí dějů, pozměněný údaj)

c)      řekni jinak

3.      popojování informací

a)      práce se dvěma obrázky – dětem dáme 2 obrázky, děti samy nebo ve spolupráci s dospělým popisují první obrázek, vymýšlejí souvislost mezi prvním a druhým obrázkem, vymýšlejí děj, aby se od prvního obrázku dostaly k situaci na druhém obrázku

b)     dokreslování prostředního obrázku

c)      práce s obrázky po toku času

4.      zaznamenávání čísla v textu

a) učitel vypráví jednoduchý příběh a děti reagují na číslo ve vyprávění např. tím, že opakují větu, ve které se číslo objeví, nebo formou signálu

b) člunkový běh

5.      práce s otázkou a odpovědí

a) na tabuli jsou obrázky zvířat, osob, předmětů, učitel se ptá a dítě podle toho vybírá odpověď (ukazuje, odpovídá jednoslovně nebo dvouslovně). Jde o to, zda dítě rozliší Kdo? (holčička, kluk), co? (panenka, auto) kam? (do lesa, na nádraží), jak? (autem, na kole)

b) stavební diktát

6.      činnosti vedoucí dítě k odpovědi celou větou

Hra na ozvěnu neboli Učíme papouška mluvit

Na šeptanou

Repetice s výběrem  - učitel vypráví, po každé větě udělá pauzu. Pokud se ve větě vypráví např. o zvířátkách, děti větu zopakují.

? V učebnici Matematika pro 1. ročník, 2. díl (Coufalová, Kaslová, Pěchoučková) najděte na str. 5 úlohu týkající se práce s obrázky po toku času. Jak byste ji mohli využít v mateřské škole?

2. Prvky pravděpodobnosti

Pravděpodobnost jevů

V pokusu, jehož všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost jevu rovna podílu počtu příznivých výsledků (m) a počtu všech možných výsledků (n), tedy.

                                   P = m : n

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo?

Počet příznivých výsledků je 3 (může padnout dvojka, čtyřka, šestka).

Počet všech možných výsledků je 6 (na kostce je celkem 6 čísel).

                                   P = 3 : 6 = 0,5

 

? Vyřešte následující úlohy:

a)      Jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí padne rub?

b)      Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo čtyři?

c)      V krabici je 7 bílých koulí a 3 černé. Vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že to bude

-          bílá koule?

-          černá koule?

 

Pravděpodobnost vyjadřujeme zlomkem, desetinným číslem (např. 0,5) nebo v procentech (50 %).

Pravděpodobnost nemožného jevu (nemůže nastat) je rovna nule (nebo 0 %), pravděpodobnost jistého jevu (určitě nastane) je rovna jedné (nebo 100 %). Pravděpodobnost možných jevů (může i nemusí nastat) je větší než nula (0 %) a menší než jedna (100 %).

 

První setkání dítěte s pravděpodobností

Dítě se od narození orientuje na jistotu, zaměřuje se na to, co jistě nastane – z matematického hlediska je to orientace na jistě ano (pravděpodobnost jevu je 1, resp. 100 %).

Později se začíná orientovat dvojpólově – ano-ne, tak to je-tak to není, to se dělá-to se nedělá, jako protipól jistě ano se vytváří jistě ne (pravděpodobnost tohoto jevu je 0, resp. 0 %). S představou existence     jistě ano                    -               jistě ne            vstupuje dítě do MŠ.

            („Určitě pro mě po o přijdeš, že jo?“)           („Nebude to u pana doktora bolet, viď?“)

V mateřské škole se děti seznamují s jevem možným např. formou hry spojené s hádáním: Učitelka drží za zády pastelku. Děti hádají, jakou má pastelka barvu. „Je černá?“ Učitelka odpoví, že ne. Když není černá, jaká může být? Má jinou barvu než černou - modrá, žlutá, bílá, žlutá……… Objevuje se nabídka a s ní spojený výběr, objevují se možnosti, na které navazuje proces rozhodování a volby.

 

jistě ano                    -                            možné                                -                      jistě ne  

                                   (můžeme jít do parku nebo na hřiště nebo do lesa)

                                   (můžeme dort upéci ráno, po obědě, po svačině)

 

Pokud se dítě v MŠ setkává s možností, nejde o vytváření či hledání možností, ale o jejich hodnocení a proces rozhodování. Aktivity v MŠ nabízejí dva druhy volby:

a)      volba, kterou provádí dítě a může ji ovlivnit – např. ve hře Domino jsou situace, kdy má dítě na výběr, na který z konců přiložit který z kamenů

b)      volba řízená vnějšími mechanismy, algoritmy, pravidly – např. ve hře Zlatá brána je chycen ten, kdo vešel do brány na poslední slabiku říkanky

Aktivity s dětmi v mateřské škole

1. Aktivity, ve kterých dítě pracuje s možnostmi – práce s možnostmi není cílem, ale součástí her, dítě si většinou osvojuje strategie pro správnou volbu

a) Cesty – cílem je pochopení slova možnost/možnosti, uvědomění si existence více možností

Učitelka se postaví na jeden konec třídy a děti na opačný. Před dětmi je hromada novin. Vyzvané dítě vytvoří kladením novin na podlahu cestu od dětí k učitelce. Další děti požádáme o vytvoření jiných cest (celkově 3 – 6 různých cest). K učitelce se děti dostanou jen po novinové cestě. Ostatní děti si vždy vyberou jednu cestu a jdou po ní. Možnosti jsou prezentovány vytvořenými cestami, výběr se dává najevo chůzí.

b) Pexeso

-          Pokud se rozhodujeme, které obrázky otočíme, vybíráme z mnoha možností.

-          Když otočíme dvě kartičky, máme dvě možnosti – obrázky jsou buď stejné, nebo ne.

c) Černý Petr – při výběru karty máme dvě možnosti

–        buď je karta stejná s některou, kterou máme v ruce, nebo ne

–        buď jsme si vybrali Černého Petra, nebo ne

d) Mlsná koza

Jedno dítě hádá, kde je prstýnek. Každý z hráčů se sepjatýma rukama je potencionálním držitelem prstýnku – představuje jednu s možností. Roli zde hraje i sociální inteligence. Pokud už někteří hráči v předchozích kolech prstýnek měli, je menší pravděpodobnost, že ho dostali znovu – počet možností se tedy redukuje.

2. Aktivity, ve kterých pracuje dítě s pravděpodobností – s pravděpodobností pracují děti intuitivně, tělo dítěte reaguje na změnu pravděpodobnosti. Když se zvyšuje šance, že na dítě vyjde aktivita nebo role, kterou nechce, reagují nejdříve jeho svaly. Stahují se horní trapézy a kruhový sval ústní, dítě se začíná choulit, uhýbat pohledem, vrtět se. Když se zvyšuje šance na získání očekávané role, dítě se postupně uvolňuje, začíná se usmívat, zvedat oči, stát rovně, poskakovat.

a) Rozpočitadlo – opakované rozpočítávání, kde poslední, který zbyl, získává nějakou roli.

b) Zajíček v své jamce – pokud hrajeme hru přesně podle reality, tedy že zajíček vyskočí přímo před sebe, poznáme na první pohled, které dítě se chce stát zajíčkem – dítě nedodrží rytmus, zpomalí nebo zrychlí, aby se dostalo před zajíčka.

c) Zlatá brána – dítě zrychluje nebo zpomaluje, aby nebylo chyceno.

d) Na babu – dítě, které nechce dostat babu, se snaží dostat se co nejdále od baby nebo se pohybuje za ní. Dítě, které naopak chce roli baby, se staví babě do cesty, možnost dostat babu chce převést na jistotu.

e) Pexeso – ke konci hry množství voleb klesá, děti říkají, že je to snadné. Z hlediska matematiky stoupá pravděpodobnost, že najdou stejné obrázky.

 

? Najděte další hry nebo aktivity dětí v mateřské škole, při kterých se pracuje s možnostmi nebo pravděpodobností.

3. Prvky kombinatoriky v mateřské škole

Základní pojmy kombinatoriky

1. Kombinatorický součin

Alenka má pro svou panenku 2 halenky a 3 sukénky. Kolika způsoby a jak může svou panenku obléci?

 

2. Permutace

Kolika způsoby můžete uložit do pouzdra 3 různobarevné pastelky za předpokladu, že do pouzdra se vejdou jen 3 pastelky?

 

3. Variace bez opakování

Máme 4 klubíčka různé barvy. Kolik jednobarevných čepic s bambulí odlišné barvy můžeme uplést?

 

4. Kombinace

Máme 4 cédéčka (Hapka, Svoboda, Plíhal, Nohavica). Kolika způsoby z nich můžeme vybrat dvě a půjčit je kamarádce?

 

? Zopakujte si uvedené pojmy z učebnic matematiky pro střední školy. Pokuste se z kontextu uvedených úloh určit, čím se jednotlivé situace liší. Úlohy řešte pomocí znázornění i výpočtem.

 

Prvky kombinatoriky ve hrách a jiných aktivitách mateřské školy

Jde o aktivity, které rozvíjejí alternativní myšlení ve smyslu: Jde to jinak? Jak? Kolik máme možností? U dětí tak rozvíjíme toleranci.

Děti se učí správně uvažovat o tom, zda je možné řešit problém jinak a přesto správně. Chceme, aby dítě bez nápovědy a časového omezení

a)      nalezlo k danému zadání aspoň jednu možnost řešení (vhodné od 3 let, pokud manipulují),

b)      nalezlo více možností s tím, že se žádná neopakuje,

c)      nalezlo co nejvíce možností, hranice je dána schopnostmi dítěte,

d)     nalezlo všechny možnosti (nemusí dítě v předškolním věku),

e)      nalezlo v práci jiného systém v hledání možností (je snazší než hledání u sebe),

f)       zhodnotilo vytvořené možnosti s tím, že jsou/nejsou všechny, co chybí.

Jedná se o intelektově náročnější činnost. Nejvhodnější je samostatná práce, můžeme zařadit i práci ve dvojicích nebo trojicích. Nepracujeme však s celou třídou dohromady, pouze se skupinkou, ostatním zadáme jiné úkoly.

K hledání možností využíváme:

1. manipulaci s předměty (posouváme, lepíme, sestavujeme),
2. kreslení nebo malování,
3. pohyb (přemisťování),
4. zvuky (mluvíme, tančíme, zpíváme).

 

Konkrétní aktivity

najdete v publikaci KASLOVÁ, M. Předmatematické činnosti v předškolním vzdělávání. Praha:Raabe, 2010.

 

4. Cesta k funkcím

Pojem funkce

Rodina Vlčkova ujela na výletě se svým autem průměrně za hodinu 50 km. Sestrojte graf závislosti dráhy automobilu na čase.

Sestavíme tabulku (hodnoty proměnné y vypočítáme pomocí proměnné x tak, že hodnoty proměnné x vynásobíme číslem 50).

x	čas [h]	0	1	2	3	4
y	dráha [km]	0	50	100

 

Sestrojíme pravoúhlou soustavu souřadnic s osami x a y, do které vyneseme údaje z tabulky a sestrojíme graf. Jedná se o graf funkce

                                               y = 50x           x je nezávisle proměnná

                                                                       y je závisle proměnná

 

? Doplňte tabulku a do pravoúhlé soustavy souřadnic sestrojte graf uvedené funkce. O jakou funkci se jedná a co je jejím grafem?

 

Funkcí nazýváme předpis, který číslu x z dané číselné množiny přiřazuje jedno nebo žádné číslo y z množiny reálných čísel.

Funkce je spojena se závislostí. Pokud chceme děti na pochopení pojmu funkce připravit, musíme pracovat se závislostmi.

 

Závislosti

Závislost je

a)      pravidlo, které funguje v rámci určité skupiny objektů, v dané skupině se opakuje a týká se pořadí objektů této skupiny. S tímto typem závislosti se většinou pracuje v MŠ.

b)      pravidlo, které funguje v řadě, která může být konečná nebo nekonečná (dítě předškolního věku chápe i nekonečnou řadu jako konečnou, limitem mu může být konec řádku, hranice stolu…)

Úkolem je odkrýt pravidlo, podle kterého se objekty ve skupině nebo v řadě opakují. Pravidlo můžeme najít sami, nebo je nám prozrazeno předem, nebo během snahy o řešení. Na pravidlo nemusíme přijít bezprostředně po zadání úlohy, můžeme pracovat na principu pokus-omyl, vždy si musíme ověřit, zda jsme nalezli správné řešení. Řešení může být jen jedno, nebo existují úlohy s více řešeními.

 

Pravidlo může:

a)      figurovat samostatně – lineárně, tedy nezávisle na čemkoliv jiném. Některým lidem vyhovuje úloha umístěná vodorovně (0, 3, 6, 9, 12, ……), jiným svisle,

b)      figurovat v síti vzájemně lineárně působících pravidel (Sudoku, magické čtverce),

c)      figurovat na křivce, oblouku, kruhu.

 

V případě, že pracujeme s řadou, existuje několik možností doplnění řady:

1. Doplnění na jeden konec řady

a)      vpravo  - při řešení úlohy doplňujeme řadu na jeden konec směrem vpravo, tyto úlohy však připouštějí více možností řešení a vedou k diskuzi. Pokud není přesné zadání, kde máme pokračovat podle daného pravidla, je možnost, abychom pravidlo do úlohy vnesli sami.

2, 4, -, -, -, -, -, -

b)     vlevo – situace je podobná jako v případě a). U tohoto typu úloh může být řešitel – čtenář blokován v odkrývání pravidla ve „čtenářském protisměru“, u nečtenářů tato obtíž většinou odpadá.

-, -, -, modrý válec, červená koule, modrý jehlan, červený válec

2. Doplnění doprostřed řady - následující výčet je v závěru vhodnou příležitostí pro kontrolu, zda námi zjištěné pravidlo platí. Můžeme najít více možností řešení.

Jedna tečka, dvě tečky, jedna tečka, dvě tečky, -, dvě tečky, jedna tečka, -, jedna tečka, dvě tečky

3. Doplnění řady od krajů – varianta vzniká kombinací variant 1a) a 1b). Při řešení úlohy je pro někoho snazší postupovat vlevo „v čtenářském protisměru“, pro jiné je výhodnější pokračovat a sledovat „levopravý čtenářský směr“. U některých úloh první nebo poslední prvek nenajdeme nebo nedoplňujeme, i když v rámci daného oboru existuje.

-, -, -, -, -, 126, 126, 116, 106, 96, 96,76, -, -, -, -, -,

-, -, -, -, -, -5, -3, -1, 0, 2, 4,6, -, -, -, -, -,

-, -, -, -, -, 0,3, 0,4, 0,5, 0,7 , 0,8,0,9,0,11, 0,21, 0,31, -, -, -, -, -,

 

? Doplňte všechny výše uvedené řady a popište pravidlo, které jste použili.

 

Aktivity zaměřené na závislosti v mateřské škole

Při práci se závislostmi by dítě mělo:

a)      respektovat „návod“,

b)      objevit a doplnit, pokračovat a popsat,

c)      vytvořit,

 

Se závislostmi dítě v MŠ pracuje na bázi

a)      pohybu – děti vytvoří řadu a jednotlivci v ní mají jinou polohu (dřep, stoj, sed, dřep, stoj, sed,…….). Tento způsob práce vyhovuje zejména hypermobilním jedincům a těm, kteří rádi spolupracují v kolektivu (děti spolupracují mezi sebou, domlouvají se, jak řadu vytvořit),

b)      manipulace – navlékání korálků, manipulace se stavebnicemi, s kartičkami s puntíky, s různým materiálem a surovinami. Vyhovuje dětem, které rády manipulují, činnost je většinou uklidňuje, chybu lze jednoduše opravit, vhodné i pro děti s nižší úrovní představivosti,

c)      grafické – děti doplňují řadu tak, že kreslí nebo malují obrázky, symboly, znaky. Vyhovuje dětem klidnějším, které rády malují a mají vyvinutou jemnou motoriku,

d)     zvuků – využíváme bubínek. Vyhovuje dětem, které se hůře soustředí na pozorování, při těchto činnostech můžeme vyblokovat zrak,

Soubor, se kterým dítě pracuje, musí být vždy konečný, protože dítě předškolního věku nezná pojem nekonečno. Dítěti může být poskytnuta nabídka řešení (dvě či tři možnosti). Kritériem pro odkrytí pravidla v řadě může být barva, tvar, velikost, poloha nebo kombinace předchozího.

 

Typy pravidel v řadě

Jsou uvedeny nejjednodušší typy pravidel v řadě, vhodné pro děti předškolního věku.

1. posunutí (opakování) n-tice – dítě musí mít čas na pozorování, pomůže případný hlasitý popis situace.

Dítě stojí, další sedí, následující opět stojí, ….            typ A,B

První dítě upaží, druhé vzpaží, třetí předpaží, čtvrté upaží, páté vzpaží, …..   typ A, B, C

2. souměrná uspořádaná n-tice

krychle, kvádr, jehlan, kvádr, krychle, krychle, kvádr, jehlan, kvádr, krychle          

typ A, B,C, B,A

malý modrý korálek, velký bílý korálek, malý modrý korálek, malý modrý korálek, velký bílý korálek, malý modrý korálek                                                     typ A, B, A

 

3. volnější řada s předěly – zde se objevují předěly mezi neopakujícími se prvky

krychle, válec, kvádr, válec, koule, válec, jehlan, válec       typ A, B, C, B, D, B, E, B

 

 

Závislosti a rytmus

Závislosti v MŠ úzce souvisejí s rytmem (např. v hudbě střídání různých délek nebo střídání přízvučných a nepřízvučných dob).

Rytmus – pravidelnosti, které jsou na sobě závislé a v určitých časových intervalech se střídají (střídání dne a noci, ročních období).

Rytmus a pravidelnosti uklidňují, vytváří pocit jistoty. S rytmem se dítě setkává i v běžném životě:

• narození dítěte – uklidní ho rytmus srdce maminky,
• jednoroční dítě pociťuje libost, když poslouchá říkadlo nebo rytmicky výrazný zpěv, která se projevuje pohybem ruky nebo celého těla v rytmu hudby,
• přírodní rytmy – střídání ročník období, dne a noci, dnů v týdnu,
• rytmus organizace činností v MŠ,

Rytmus má vliv i na vytváření představy přirozeného čísla

• říkanka Jedna, dvě, Honza jde … je ustálenou posloupností slov a rytmu, pokud přidáme prsty, stává se říkanka nástrojem k počítání (podobně rozpočitadlo Enyky, benyky, …)
• uspořádaná řada čísel (jedna, dvě, tři,…….)