Výroková logika

1. Výroková logika

Výroková logika

 

Výrok je každé srozumitelné sdělení, které je úplné, objektivní a o kterém má smysl uvažovat, zda je pravdivé nebo nepravdivé.

Věta tedy musí obsahovat plné informace. Musí mít smysl uvažovat o její pravdivosti nebo nepravdivosti, i kdyby toto nešlo v dané chvíli rozhodnout. Výrokem není zvolání, rozkaz, otázka, neúplná informace, přání, pocity.

 

            Výrok                                                 Není výrok

Dnes je středa.                                               Prší. (nedostatečná informace, nevíme,

                                                                                    kde prší)

Slon je větší než mravenec.                          Náš pes je rychlejší. (než kdo?)

Hlavní město ČR je Praha.                            Kam půjdeš dnes večer?

 

Výroky mohou být pravdivé nebo nepravdivé.

 

            Pravdivý výrok                                  Nepravdivý výrok

Slon je větší než mravenec.                           Řeka Labe protéká Plzní.

Kočka má 4 nohy.                                            Lev není šelma.

 

Dělení výroků

a)      jednoduchý výrok (jednoduchá věta)

Prahou protéká řeka Vltava.

 

b)      složený výrok (vznikne alespoň ze dvou jednoduchých výroků pomocí logických spojek)

Praha je hlavní město České republiky a protéká jí řeka Vltava.

 

c)      individuální výrok (týká se jedné konkrétní věci, osoby, časového údaje)

Naše kočka Micka je strakatá.

 

d)      kvantifikovaný výrok

Všechny kočky jsou strakaté.

 

Výroky jednoduché a složené

Jednoduché výroky:    Praha je hlavní město České republiky.

                                       Prahou protéká řeka Vltava.

Složené výroky

a)      konjunkce výroků– používáme spojky  a, i, dokonce, ani-ani, avšak, ale

Praha je hlavní město České republiky a protéká jí řeka Vltava.

Konjunkce dvou výroků je pravdivá, pokud jsou oba výroky pravdivé.

 

b)     ostrá disjunkce výroků – používáme spojku buď-nebo

Buď je Praha hlavní město České republiky, nebo jí protéká řeka Labe.

Ostrá disjunkce dvou výroků je pravdivá, pokud je jeden výrok pravdivý a druhý nepravdivý.

 

c)      neostrá disjunkce výroků – používáme spojku nebo

Praha je hlavní město České republiky nebo jí protéká řeka Vltava.

Neostrá disjunkce dvou výroků je pravdivá, pokud je pravdivý alespoň jeden výrok.

d)     implikace výroků – používáme spojky jestliže-pak, jestliže, pokud, -li, když

Jestliže je Praha hlavní město České republiky, pak jí protéká řeka Vltava.

            předpoklad implikace                                       závěr implikace

      Implikace dvou výroků je nepravdivá, jestliže je předpoklad pravdivý a závěr nepravdivý. V ostatních případech je implikace pravdivá.

 

e)      ekvivalence výroků – používáme spojky právě tehdy-když, jen když

Praha je hlavní město České republiky, jen když jí protéká řeka Vltava.

Ekvivalence dvou výroků je pravdivá právě tehdy, když jsou oba výroky pravdivé nebo jsou oba výroky nepravdivé.

 

? Uvedené jednoduché výroky o Praze zkuste spojit při vytváření složených výroků a) až e) jinými spojkami. Rozhodněte o pravdivosti či nepravdivosti vytvořených složených výroků.

? Vytvořte všechny složené výroky z jednoduchých individuálních výroků:

Dnes ráno jsem snědla rohlík.

Dnes ráno jsem vypila šálek čaje.

Rozhodněte na základě vlastní situace o pravdivosti či nepravdivosti těchto složených výroků.

 

 

 

Výrok a výroková forma

Výrok

3 + 2  = 5        výrok pravdivý

3 + 2 = 7         výrok nepravdivý

 

Výroková forma

3 + 2 = x

Výroková forma je jakýsi „polotovar výroku“, obsahuje neznámou. Z výrokové formy dostaneme výrok, jestliže za neznámou dosadíme konkrétní objekt. Ten vybíráme ze skupiny objektů, která se nazývá definiční obor. Definiční obor můžeme volit sami nebo je přesně určen, zadán. Definiční obor obsahuje obor pravdivosti. Pokud dosadíme objekty z oboru pravdivosti za neznámou do výrokové formy, dostaneme pravdivý výrok.

 

Výroková forma                     Definiční obor                                               Obor

                                                                                                                        pravdivosti

3 + 2 = x                                 čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10                    číslo 5

d . m                                         písmena abecedy                                    písmeno ů

 obrys slona                             barvy pastelek                                         šedá barva

Výroky individuální a výroky kvantifikované

Výrok individuální                                                    Výrok kvantifikovaný

Gábina nepřeskočila kozu.                                        Někdo z dětí nepřeskočil kozu.

Hanka má rýmu.                                                        Všechna děvčata z 1.C mají rýmu.

Dan to ví.                                                                   Každý žák to ví.

Na tomto stole teď leží knihy.                                   Na tomto stole vždy leží knihy.

                                                                                   Všude na stolech teď leží knihy.

Struktura kvantifikovaného výroku:

Kvantifikátor      definiční obor       výroková forma

Všechna             děvčata z 1.C         mají rýmu.

 

Výroková forma vyjadřuje charakteristickou vlastnost objektů.

Kvantifikátor vymezuje k jaké části definičního oboru se vztahuje charakteristická vlastnost vyjádřená výrokovou formou. Kvantifikátory se mohou týkat

- živé přírody:    všichni, každý, někdo, nikdo

- neživé přírody:    něco, nic, vše

- místa:   všude, někde, nikde

- času:   vždy, někdy, nikdy

Rozeznáváme tedy tyto výroky:

a)      jednoduchý individuální – Petr má pastelku.

b)     jednoduchý kvantifikovaný – Všichni žáci mají pastelku.

c)      složený individuální  - Petr má pastelku a fix.

d)     složený kvantifikovaný – Někdo z dětí má pastelku a fix.

 

 

? Vytvořte

-          ostrou disjunkci dvou individuálních výroků

-          neostrou disjunkci dvou kvantifikovaných výroků

-          konjunkci dvou kvantifikovaných výroků

-          ekvivalenci dvou individuálních výroků.

Zdroj: Přednášky PhDr. Michaely Kaslové v rámci předmětu Rozvoj logického a matematického myšlení na FPE ZČU.

2. Cesta k výroku v mateřské škole

Cesta k výroku v mateřské škole

 

Práce s individuálními výroky

 

1. zaposlouchávání      se do struktury výroků – pohádky: V pohádkách se často používá      konjunkce výroků, vyskytují se spojení       …..a……, ne……ani ne….., …….ale ne….., ne……
2. opakování či      tvoření jednoduchých i složených výroků ve hrách:

-          reprodukce (Tichá pošta, Hra na ozvěnu, Učím panenku česky)

-          nabalování (Šla babička do městečka)

-          rytmizace (píseň Když jsem já sloužil)

3. vyhodnocování      jednoduchých výroků na úrovni kinestetické: Děti pohybem vyjadřují,      zda je výrok pravdivý nebo nepravdivý v aktivitách

-          Kuba řekl

-          Všechno lítá, co peří má

-          Co mi řekl semafor

-          Popletené písničky, popletené pohádky

4. práce      s otázkou: V mateřských školách se kladou většinou takové      otázky, které vedou k jednoslovné odpovědi. Je třeba však vést děti      k odpovědi celou větou – je to příprava pro tvorbu odpovědi na slovní      úlohu na 1. stupni a rozvíjejí se zároveň komunikativní dovednosti dětí.      Ze strany učitele je tedy vyžadována vhodná formulace otázky vedoucí      k odpovědi celou větou nebo je třeba pobídnout dítě k doplnění:      „Popiš, co děláš.“ V předškolním období (6 let a v období školní      docházky) děti samy vyprávějí a popisují celou větou, jednoduchou celou      větou také odpovídají. Mají totiž potřebu sdělit co nejvíce informací,      které ví (zdravá soutěživost).

 

? Přečtěte si pohádku O perníkové chaloupce a najděte výroky.

 

? Z pohádky O perníkové chaloupce vytvořte popletenou pohádku. Vyzkoušejte ji s dětmi (Pozor, děti musí znát dobře původní verzi). Vyhodnocování nepravdivých výroků provádějte na kinestetické úrovni.

Práce s kvantifikovanými výroky

 

Ve většině případů jsou jako kvantifikované složené výroky formulována pravidla slušného chování, hygienická pravidla, pravidla her. Důsledným vyžadováním jejich dodržování dítě postupně proniká do porozumění a současně tak rozvíjí prvky logického myšlení. K tomu napomáhá vysvětlování pravidel i s použitím protipříkladů, aby tak došlo k lepšímu pochopení hranice platnosti. Protipříklady jsou buď situační v podobě individuálního výroku (Nejde, abys…), nebo mluvíme obecněji s použitím negace kvantifikovaného výroku (Nejde, aby někdo…., Žádný nesmí….).

Děti také vedeme k tomu, aby se pokoušely vysvětlovat pravidla her, které již znají: „Hru už známe. Kdo nám zopakuje pravidla?“

 

? Požádejte děti, aby se před hraním známé hry pokusily připomenout její pravidla. Sledujte, jaké výroky používají.

 

 

Výroková forma

 

S výrokovou formou pracují děti v následujících hrách a aktivitách:

-          pexeso:  Kartičky pexesa leží na desce stolu obrázkem dolů. Dítě jednu kartičku otočí a hledá stejný obrázek. Neznámou je tedy druhá kartička, kterou dítě musí otočit. Definičním oborem jsou všechny kartičky položené na stole obrázkem dolů a dítě hledá obor pravdivosti – kartičku se stejným obrázkem.

-          Černý Petr

-          Domino

-          Ztratil čáp čepičku

-          omalovánky

 

? Vysvětlete, jakým způsobem děti pracují s výrokovou formou, pokud

a)      hrají hru Černý Petr

b)      hrají hru Domino

c)      hrají hru Ztratil čáp čepičku

d)      pracují s omalovánkami

 Zdroj: Přednášky PhDr. Michaely Kaslové v rámci předmětu Rozvoj logického a matematického myšlení na FPE ZČU.