Kinematika a dynamika rotačního pohybu

Website:	Moodle ZČU
Kurs:	KMT/TES1 Technologický seminář - šablona
Buch:	Kinematika a dynamika rotačního pohybu

Gedruckt von:	Nepřihlášený host
Datum:	Donnerstag, 22. Oktober 2026, 09:04

Inhaltsverzeichnis

1. Úvod
2. Perioda otáčení
3. Experiment k momentu setrvačnosti
4. Moment setrvačnosti
5. Dostředivá a odstředivá síla
6. Inerciální soustavy
7. Pohyb družice po kruhové dráze kolem Země
8. Oběžná doba družice

1. Úvod

Při přímočarém pohybu dokonale tuhého tělesa jsou trajektorie všech jeho bodů shodné úsečky. Mají tedy stejnou délku, tvar i orientaci v prostoru. Pro zjednodušení pak lze tuhé těleso nahradit hmotným bodem.

Co ale například cyklista na jízdním kole?
Lze takový systém vždy nahradit jedním hmotným bodem?

Kolo na jízdním kole se otáčí kolem pevné osy, která je v klidu. Sledujte ventilek ráfku a odrazku ve výpletu kola. Jaký konají pohyb?

Řešení:
Vidíte, že trajektorie jednotlivých bodů tělesa jsou rozdílné. Každý sledovaný bod výpletu kola koná pohyb po kružnici v rovině kolmé k ose otáčení. Středem této kružnice je průsečík osy otáčení s rovinou otáčení.

2. Perioda otáčení

Když hmotný vykoná jednu otáčku po kruhové trajektorii, odpovídá to dráze o délce

$s = 2 \cdot \pi \cdot r$ .

Čas, za který vykoná těleso jednu otáčku se nazývý perioda otáčení a u rychlých pohybu se nejsnáze vypočítá jako poměr delšího časového úseku $t$ , za který proběhne několik otáček a počtu celých otočení o 360° ( $2 /pi$ radiánů), například 10 nebo 20 celých otočení. Period a se značí $T$ a má fyzikální rozměr času. Platí pro ni, že

$T= \frac{1}{n}$ sekund,

$T= \frac{t}{n_{t}}$ sekund,

kde $n_{t}$ je počet otáček za dobu $t$ a $n$ je počet otáček za jednu sekundu.

Velikosti obvodové rychlosti bodů jsou přímo úměrné jejich vzdálenosti od osy oáčení. Když si označíte obvodovou rychlost $v$ , úhlovou rychlost $ω$ a poloměr otáčení $r$ , bude platit, že

3. Experiment k momentu setrvačnosti

Roztočte přímo ve vidlici svého jízdního kola nebo ve vidlici centrovacího stojanu vypletená kola s různým průměrem ráfku 559 mm (26") a 622 mm (shodné pro 28" i 29"). Předpokládejte, že všechny ostatní parametry jsou v experimentu pro oba případy shodné. Valivý odpor ložisek náby i tření těsnících kroužků tedy zanedbáme. Rychlost roztočení i působící impuls síly se snažte použít vždy co možná nejshodnější.

Nejdřív nechte otáčet ráfek bez pláště a poté ten samý ráfek s nasazeným pláštěm a duší. Pozorujte jaký vliv má průměr kola a jeho hmotnost na čas od roztočení kola do jeho zastavení. Po kvalitativním pozorování použijte stopky a změřené údaje zapište. Úhlovou rychlost můžete měřit například pomocí tachometru pro jízdní kola, aplikace stroboskopu na mobilním telefonu nebo pomocí světelné brány ze školní experimentální sady.

Co jste při experimentu zjistili?

4. Moment setrvačnosti

Řešení:
Kolo s větším poloměrem se otáčí déle. Stejně tak kolo stejného průměru s větší hmotností se zastaví za delší dobu od jeho roztočení. Parametr, který popisuje, jak dlouho se kolo otáčí, se nazývá moment setrvačnosti . Moment setrvačnosti je definován jako součin hmotnosti a druhé mocniny poloměru

Momenty setrvačnosti těles odpovídajícím svým tvarem základním geometrickým útvarům jako jsou válec, disk, tenká tyč, koule, koule na tyči apod., jsou uvedeny v matematicko-fyzikálních tabulkách a strojnických tabulkách.

Pohybová energie otáčivého pohybu tělesa (tzv. rotační kinetická energie) se následně vypočítá ze vztahu

5. Dostředivá a odstředivá síla

Zavěste malé závaží ze školní sady pokusů z mechaniky nebo miskových vah na tenký vlasec a roztočíte tak, aby vykonávalo rovnoměrný pohyb po kružnici. Ruka působí prostřednictvím vlákna na závažíčko dostředivou silou

$F_{do}$ , která má za následek neustálou změnu směru vektoru výsledné rychlosti závažíčka.

Závažíčko naopak působí prostřednictvím vlákna na ruku silou reakce, tzv. odstředivou silou

$F_{do}$ . Dostředivá a odstředivá síla jsou stejně velké, ale působí na různá tělesa.

Které stroje mají části konající otáčivý pohyb?

Zamyslete se nad tím, k čemu se používají.

Buben pračky působí na prádlo dostředivou silou, mokré prádlo působí na buben pračky odstředivou silou a voda v něm se se otvory v bubnu pohybuje vlivem odstředivé síly směrem mimo otáčivý systém.

6. Inerciální soustavy

Sedačka řetízkového kolotoče na Vás působí složkou dostředivé síly a brání vašemu pohybu směrem ven z kolotoče. Vy na sedačku kolotoče působíte silou odstředivou. Z pozice pozorovatele sedícího na kolotoči cítíte odstředivé síly. Když nebudete pevně držet svůj mobilní telefon nebo klíče, budou se pohybovat ve směru působící odstředivé síly podobně jako voda u pračky při odstředivém ždímání prádla.

Pozorovatel vně systému vidí sílu dostředivou, tedy jak Vás sedačka neustále přitahuje směrem k ose otáčení. Pozorovatel uvnitř otáčejícího se systému vnímá působení odstředivé síly. Podobné to je i při průjezdu zatáčky ve vozidle nebo na jízdním kole.

Pro velikost dostředivé a tudíž i odstředivé sily platí vztah

$F_{od} = m \cdot \omega^2 \cdot r = m \cdot \frac{ v^2 }{r}$ ,

protože

$\omega = \frac{v}{r}$ .

7. Pohyb družice po kruhové dráze kolem Země

V gravitačním poli dochází vlivem působení gravitační síly k zakřivení trajektorie tělesa a ke změně velikosti jeho rychlosti. Vhodným nastavením parametrů je možné dosáhnout speciálního případu, kdy se umělá družice bude pohybovat kolem Země po trajektorii ve tvaru blízkém tvaru kružnice. Přitom musí v dané vzdálenosti od středu Země platit, že gravitační síla je rovna dostředivé síle, což vyjadřuje rovnice

v níž $m$ je hmotnost družice, $M_{z}$ hmotnost Země, $v_{k}$ oběžná rychlost a $r$ vzdálenost družice od středu země. Po vyjádření velikosti oběžné rychlosti z výše uvedeného vztahu dostanete vzorec

z nějž jasně plyne, že oběžná rychlost závisí na vzdálenosti družice od středu Země.

8. Oběžná doba družice

Pro oběžnou dobu družice po kruhové trajektorii kolem Země při konstantní velikosti oběžné rychlosti platí vztah

Gravitační konstanta má hodnotu

Družice na oběžné dráze ve výšce $h$ nad povrchem Země má určitou potenciální energii $E_{p}$ a kinetickou energii $E_{k}$ odpovídající oběžné rychlosti $v_{k}$ .

Na zvýšení potenciální energie družice bylo nejprve třeba vykonat mechanickou práci při jejím vynesení na oběžnou dráhu vysoko nad povrchem Země. Tuto práci konaly výkonné raketové motory. Následně družice pomalu padá zpět na Zemi a na stabilní dráze ji udržují raketové motory s malým výkonem. Takto může družice setrvat na stabilní oběžné dráze celé roky.