Příklady z hydrostatiky

1.

Jakou silou působí pneumatický válec o průměru 50 mm při pracovním tlaku 10 Barů ? 

d = 50 mm = 0,05 m = 5 * 10^-2 m 
r = 1/2 d = 0,025 m = 2,5*10^-2 m 
p = 10 Bar = 10 * 10^5 Pa = 10^6 Pa 

S = Pí * r^2 
= 3,14 * (0,025)^2 = 3,14 * 0,025 * 0,025 = 3,14 * 0,000625 = 196,25 * 10^-5 m^2 

p = F / S 

F = p * S = 10^6 * 196,25 * 10^-5 = 1962,5 N 

2.

Jak velkou silou působí atmosférický tlak na plochu 100 x 100 mm? 

S = 0,1 m * 0,1 m = 0,01 m^2 = 1 * 10^-2 m^2 
p = 1000 hPa = 100 kPa = 10^5 Pa 

p = F / S 

F = p * S = 10^5 * 0,01 = 10^5 * 10^-2 = 10^3 N = 1000 N 

3.

Vodárenská věž má výšku 100 m. Jaký je tlak vody v přízemí domu stojícího vedle? 

h = 100 m 
Ro = 1000 kg/m^3 
g = 10 m/s^2 

p = h * Ro * g = 100 * 1000 * 10 = 1000000 Pa = 10^6 Pa = 10 Bar 

4.

Hydraulický hever se skládá ze dvou válců s písty o průměru 20 mm a 100 mm. 
Hever se obsluhuje jednozvratnou pákou délky 50 cm. Vzdálenost závěsu válce od osy otáčení je 50 mm. 

Jaký je poměr tlaku v prvním a druhém válci a jaký je převodní poměr působících sil? 

S1 = 20 mm^2 = 20 * 10^-6 m^2 
S2 = 100 mm^2 = 100 * 10^-6 m^2 S2 = 5 * S1

Plochy pístů hydraulických válců S2/S1 jsou v poměru 5:1 


p = F / S 

p1 = p2     tlak v propojených hydraulických válcích je shodný 
F1/S1 = F2/S2   (viz Pascalův zákon) 
F2/F1 = S2/S1 = 100 / 20 = 5

F1 = konst * S1 
F2 = konst * S2 = konst * 5 * S1 F2 = 5 * F1

Silový převodní poměr hydraulického systému F2/F1 je 5:1 

5.

Hydraulický hever se skládá ze dvou válců s písty o průměru 20 mm a 100 mm. 
Hever se obsluhuje jednozvratnou pákou délky 50 cm. Vzdálenost závěsu válce od osy otáčení páky je 50 mm. 

Jaký je celkový převodní poměr tohoto pneumatického heveru s pákou? 

L1 = 50 cm = 0,5 m L1 = 10 * L2 délka ramen jednozvratné páky L1/L2 je v poměru 10:1 
L2 = 50 mm = 0,05 m 


F1 * L1 = F2 * L2 
F2 / F1 = L1 / L2 = 0,5 / 0,05 = 10 

F2 = F1 * L1 / L2 = L1/L2 * F1 = 10 F1

Silový převodní poměr F2/F1 jednozvratné páky je 10:1 

Celkový silový převodní poměr uvedeného hydraulického heveru s pákou je 50:1 

6.

Hydraulický hever se skládá ze dvou válců s písty o průměru 20 mm a 100 mm. 
Hever se obsluhuje jednozvratnou pákou délky 50 cm. Vzdálenost závěsu válce od osy otáčení páky je 50 mm. 

9) Jakou silou musíme působit na páku tohoto heveru, abychom zvedli břemeno o hmotnosti 1,5 tuny? 

m2 = 1,5 T = 1,5 * 10^3 kg 
g = 10 m/s^2 

F2 = m * g = 1,5 * 10^3 * 10 = 15000 N 

F2 = 50 * F1 F1 = 1/50 * F2 = 15000 / 50 = 300 N

7.

Jak se sníží vykonaná práce při zvedání tohoto břemene pomocí heveru?   (chyták) 

p = F / S 

V = S * H          Objem válce je součinem obsahu podstavy S a výšky válce H. 
V1 = S1 * H1    Objem hydraulické kapalivy ve válci uzavřeném pohyblivým pístem je součinem
V2 = S2 * H2    Plochy pístu S1 a výšky zdvihu H1, respektive S2 a H2. 

Změna objemu 1. válce při změně zdvihu dH1 je   dV1 = S1 * dH1 
Změna objemu 2. válce při změně zdvihu dH2 je   dV2 = S2 * dH2 

Změna objemu hydraulické kapaliny v celém hydraulickém systému  dV=0 
(hydraulický systém je uzavřený, žádná kapalina neuniká) 

dV1 = dV2      Zákov zachování hmotnosti nestlačitelné hydraulické kapaliny v propojených válcích 
S1*dH1 = S2*dH2
S1/S2 = dH2/dH

POZOR: opačný poměr zdvihů než v případě ploch! 

F1/F2 = S1/S2 = dH2/dH1 

W = F * s      Práce je definována jako součin síly F a dráhy s, na které tato síla působí 

W1 = F1 * dH1     Působíme např. 5krát menší silou, ale po 5krát delší dráze! 
W2 = F2 * dH2 

W2/W1 = F2/F1 * dH2/dH1 = 50 * 1/50 = 1 tzn. W1 = W2 


Obdobně pro jednozvratnou páku. Jednoduché stroje nám neušetří žádnou práci. Pouze působíme menší silou. 

8.

Hydraulický hever se skládá ze dvou válců s písty o průměru 20 mm a 100 mm. 
Hever se obsluhuje jednozvratnou pákou délky 50 cm. Vzdálenost závěsu válce od osy otáčení páky je 50 mm. Jak bychom museli změnit délku páky, pokud bychom chtěli dosáhnout stejného převodního poměru sil pouze samotnou jednozvratnou pákou? 

viz příklady 7 a 8 

Aby byl celkový převodní poměr pro sílu 50:1 zachován, musela by bez použití hydrauliky být délka páky 5krát větší. 

L1a = 50 cm = 0,5 m 

L1b = 5 * L1a = 5 * 0,5 = 2,5 m 

9.

Ocelová nákladní loď má výtlak 64575 tun a hmotnost 8000 tun. Průměrná hustota vody v oceánu je 1,025 kg/l. 

Jaká je maximální užitečná nosnost této lodi? 
64575 - 8000 = 56575 T = 50575000 kg 

Jaká je velikost vztlakové síly působící na loď? 
m = 64575 T = 64575000 kg 
g = 10 m/s^2 

Ro = m / V m = V * Ro 

Fvz = V * Ro * g = m * g = 64575000 * 10 = 645750000 N = 645,75 * 10^6 N 

Kolik litrů mořské vody loď vytlačí? 

Ro = 1,025 kg/l = 1025 kg/m^3 

Ro = m / V 
V = m / Ro = 64575000 / 1025 = 63000 m^3 = 63 * 10^6 litrů 

10.

Ocelová nákladní loď má výtlak 64575 tun a hmotnost 8000 tun. Průměrná hustota vody v oceánu je 1,025 kg/l. 
15) Jak se změní výtlak vody a reálně využitelná nosnost lodi v ústí řeky ve srovnání s otevřeným mořem? 

slaná mořská voda: Ro1 = 1,025 kg/l = 1025 kg/m^3
sladká říční voda: Ro2 = 0,997 kg/l = 997 kg/m^3

Za předpokladu zachování hmotnosti lodi i hmotnosti nákladu 

Fg = m * g = Fvz = V1 * Ro1 * g = V2 * Ro2 * g 

Výtlak vody v tunách je stále stejný. Změní se však objem vytlačené vody a tudíž i ponor lodi! 

Ro = m / V 

V2 = m / Ro2 = 64575000 / 997 = 64769 m^3 
V2 - V1 = 1 769 m^3

Loď se potopí hlouběji. Objem ponořené části lodi se zvýší o 1 769 m^3. 

Fvz = V1 * Ro1 * g = V2 * Ro2 * g 
V2 / V1 = Ro1 / Ro2 = 1025 / 997 = 1,028 

To znamená o zhruba 2,8 % více vytlačené sladké říční vody ve srovnání se slanou mořskou vodou. 

11.

Ocelová nákladní loď má výtlak 64575 tun a hmotnost 8000 tun. Průměrná hustota vody v oceánu je 1,025 kg/l.

Jak se změní výtlak vody a reálně využitelná nosnost lodi v ústí řeky ve srovnání s otevřeným mořem?

slaná mořská voda: Ro1 = 1,025 kg/l = 1025 kg/m^3
sladká říční voda: Ro2 = 0,997 kg/l = 997 kg/m^3

Pokud bychom chtěli zachovat ponoření lodi po čáru ponoru definovanou pro volné moře i ve sladké říční vodě, museli bychom změnit zatížení lodi nákladem o hodnotu odpov9daj9c9 royd9lu vztla4en0 vodz pro slanou a sladkou vodu (m1-m2).

Výtlak m = 64575000 kg je hmotnost vytlačené vody, zde původně vody mořské. Pro odlišení dále značí m1 hmotnost vytlačené slané vody a m2 vody sladké. 

Objem ponořené části lodi se ve sladké vodě s hustotou Ro2 = 0,997 kg/l zvýší o V2-V1 = 1 769 m^3. (viz výše)

(m1-m2) = Ro2 * (V2-V1) = 997 * 1769 = 1763693 kg = 1764 T 

12.

Podrobněji: 

Celková hmotnost lodi m je součtem hmotnosti samotné lodi m3 a hmotnosti nákladu m4: 
m = m3 + m4 
m = 64575000 kg 
m3 = 8000 T 
m4 = m - m3 = 64575 - 8000 = 56575 T 


Tíhová síla působící na loď s nákladem Fg = (m3+m4)*g 
Vztlaková síla ve slané vodě Fvz1 = m1*g 
Vztlaková síla ve sladké vodě Fvz2 = m2*g 

Ro = m / V 
V = m / Ro 

V1 = V2 Aby byl zachován ponor, musí být roven objem ponořené části lodi ve slané a sladké vodě.
m1/Ro1 = m2/Ro2
m1/m2 = Ro1/Ro2 Poměr hmotností vytlačené slané a sladké vody je stejný jako poměr jejich hustot. 

hmotnost vytlačené sladké vody 
m2 = Ro2/Ro1 * m1 = 997 / 1025 * 64575000 = 0,9727 * 64575000 = 62811000 kg = 62,811 * 10^6 kg = 62811 T 

Potřebné snížení celkové hmotnosti lodi o hodnotu (m1-m2) tak, aby byl zachován ponor: 
m1-m2 = 64575000 - 62811000 = 1764000 kg 


Poměrné Snížení nosnosti lodi vztažené na celkovou hmotnost nákladu 
(m1-m2)/(m-m3) = 1764 / ( 64575 - 8000 ) = 1764 / 56575 = 3,1% 

Poměrné Snížení nosnosti lodi vztažené na hmotnost lodi i s nákladem 
(m1-m2)/m = 1764 / 64575 = 2,73%