Číselné soustavy a převody mezi nimi

1. Používané číselné soustavy

S čísly se setkáváte od útlého dětství, kdy jste se začali seznamovat s desítkovou soustavou. Číselná soustava obecně je způsobem zobrazení čísel.

 Jak popíšete dvě skutečnosti, kterými je každá číselná soustava určena?

Základní dělení číselných soustav s příklady vidíte na následujícím obrázku.

Obr. 1: Rozdělení číselných soustav.

 V čem se liší polyadické a nepolyadické soustavy?

Nepoziční soustavy

Příklad římských čísel, který je na obr. 1 uveden u nepozičních soustav, je sice starý. Můžeme se s ním ovšem setkat na různých místech v našem okolí. Z širšího využití nepoziční soustavy diskvalifikuje neprakticky dlouhý zápis.

 Jak by se římskými čísly zapsal rok úmrtí prvního československého prezidenta?

Poziční soustavy

Číslo v poziční soustavě představuje součet mocninné řady, kterou vidíte na obr. 1.

• a_i je cifra od 0 do Z-1 (příp. znak), které lze v soustavě využít;
• Z je základ (báze) soustavy;
• n je nejvyšší řád s nenulovou cifrou;
• m je nejnižší řád s nenulovou cifrou.

Zápis čísla je následně tvořen koeficienty a_i. Tvoří ho celá a zlomková část, které jsou oddělenyřádovou čárkou. Pro lepší přehled budeme zapisovat čísla s dolním indexem, v němž bude báze soustavy.

 Jaké mohou být příklady zápisů čísel v jednotlivých pozičních soustavách zobrazených na obr. 1?

Desítková (dekadická) soustava

V běžném životě nejpoužívanější číselná soustava je jeho každodenní součástí. Na rukou máme obvykle deset prstů, na prstech se v dětství učíme počítat, a tak je tato soustava pro naše životy zcela přirozená.

Dvojková (binární) soustava

Dvojková soustava používá pouze číslice 0 a 1, což má mnoho výhod. Můžeme si určit, že hodnota 1 bude představovat vyšší hodnotu napětí a 0 nižší – toto označení pojmenujme jako pozitivní logiku. Se dvěma stavy definovanými pomocí těchto dvou hodnot se můžeme setkat i při programování, kdy od sebe rozlišují hodnoty 1 = true (pravda, popř. platí) a 0 = false (nepravda, popř. neplatí). Dále tato soustava nalézá uplatnění v elektronických spínacích obvodech.

Osmičková (oktalová) soustava

Dříve se osmičková soustava používala u starších typů sálových počítačů s logickými obvody, procesory a mikroprocesory, ale dnes je její využití spíše omezené. Nicméně uveďme alespoň jeden příklad, kdy se s ní můžeme setkat. Unixu znalí uživatelé zajisté narazili na příkaz chmod sloužící pro změnu přístupových práv souboru.

Šestnáctková (hexadecimální) soustava

Znaky A až F postupně reprezentují čísla 10 až 15. Šestnáctková soustava se používá k popisu dat na adresové a datové sběrnici. Hexadecimální vyjádření dat se v počítačové technice značí symbolem h (nebo H) za šestnáctkovým číslem, takže adresa na šestnáctibitové sběrnici může mít např. hodnotu 3F80H. Dále se s šestnáctkovou soustavou můžeme setkat u zápisu RGB hodnoty barvy, což se používá např. v HTML kódu, kde  zápis začíná hashmarkem a následuje 6 hexadecimálních číslic hodnoty barvy (#FFFF00 značí žlutou barvu).

1.1. Cvičení k používaným číselným soustavám

Ověřte, v jakých pozičních soustavách, které byly zmíněny v první kapitole, by se mohla vyskytovat následující čísla:

1. 10101_?
2. 3210,45_?
3. A,B_?
4. 84,012_?
5. 212,G_?

Tipy pro řešení

Jde nám o následující soustavy:

• Dekadickou,
• binární,
• hexadecimální,
• ternární,
• oktalovou.

Uvědomte si, jaké cifry a znaky jsou přípustné v jednotlivých soustavách. Hlavní tip spočívá v tom, že nesmíte zapomenout, že první přípustnou cifrou v každé soustavě je 0.

Návrh řešení

Návrh řešení si prohlédněte až potom, co se pokusíte o nějaké vlastní.

1.2. Shrnutí

 Ve studijní kapitole jste viděli představeny důležité číselné soustavy, s nimiž se na různých místech v různé míře budete setkávat. V oblasti digitálních technologií jde především o poziční soustavy (binární a hexadecimální, společně s dekadickou, na kterou jste zvyklí z běžného života.

Zdroje

Další informace k tématu můžete nalézt mezi jinými i v tomto zdroji.

• ANTOŠOVÁ, Marcela a Vratislav DAVÍDEK. Číslicová technika. České Budějovice: Kopp, 2003, 305 s. ISBN 80-7232-206-0.

2. Převody z desítkové soustavy do jiných

Problém převádění čísla z desítkové soustavy do jiné si musíte rozdělit na dvě části. Zvlášť převádíme celou část a odděleně část za desetinnou řádovou čárkou.

Obr. 2: Schéma převodu z desítkové do jiné číselné soustavy.

2.1. Celá část

Celou část čísla z desítkové soustavy můžeme převádět dvěma metodami.

Metoda postupného dělení

Při metodě postupného dělení využíváme celočíselné dělení, v něm např. platí, že 12 : 8 = 1 zbytek 4, protože 12 = 8 × 1 + 4.

Obecně potom probíhá převod ve dvou krocích:

1. Číslo z desítkové soustavy H₁₀ postupně budete dělit číslem báze soustavy Z (větší než jedna a jiné než deset), do níž ho chcete převést, dokud celá část nově získaného čísla není rovna nule:

H₁₀ : Z = k₀ + zbytek a₀ 
k₀ : Z = k₁ + zbytek a₁ 
k₁ : Z = k₂ + zbytek a₂ 
. 
. 
. 
k_n-3 : Z = k_n-2 + zbytek a_n-2 
k_n-2 : Z = 0 + zbytek a_n-1 

2. Číslo v soustavě s bází Z získáte přepisem zbytků od posledního získaného k prvnímu.

H_Z = (a_n-1a_n-2...a₂a₁a₀)_Z

Metoda postupného odčítání

Při metodě postupného odčítání využijete schopnosti odhadnout, kolikrát se do převáděného čísla H₁₀ vejde určitá mocnina báze soustavy Z.

Výpočet opět probíhá v několika krocích:

1. Nejprve určíte, jaký počet pozic bude mít číslopo uskutečněnémpřevodu. Zjistíte to tak, že určíte největší mocninu báze soustavy Z, která je ještě menší nebo rovna převáděnému číslu H₁₀:

Zⁿ > H₁₀ ≥ Z^n-1

2. Následně určíte cifry (či znaky) nového čísla na jednotlivých pozicích jako koeficienty, které udávají, kolikrát se mocnina soustavy Z příslušející dané pozici vejde do čísla H₁₀. Začnete nejvyšší mocninou soustavy, do níž převádíme, jejíž hodnotu budete postupně odečítat od zadaného čísla H₁₀, až získáte zbytek menší, než je báze soustavy Z. Koeficient příslušné pozice se potom rovná počtu provedených odečtů.

3. U daného zbytku zopakujete tentýž postup, ovšem s o řád nižší mocninou. Pokud je zbytek z předchozího kroku menší než mocnina pro aktuální pozici, samozřejmě žádný odečet neprovedete, zapíšete koeficient 0 a přejdete na pozici o řád níže.

4. Zastavíte se samozřejmě u mocniny báze Z⁰, kdy již žádný zbytek nevznikne. Pochopitelně i tento postup lze zkráceně obecně zapsat:

Zⁿ > H₁₀ ≥ Z^n-1; a_n-1 × Z^n-1 + zb_n-1 
Z^n-1 > zb_n-1 ≥ Z^n-2; a_n-2 × Z^n-2 + zb_n-2 
. 
. 
. 
Z² > zb₂ ≥ Z¹; a₁ × Z¹ + zb₁ 
Z¹ > zb₁ ≥ Z⁰; a₀ × Z⁰ + 0

5. Číslo v nové soustavě o základu Z získáme prostým přepisem koeficientů a_i.

H_Z = (a_n-1a_n-2...a₁a₀)_Z

2.2. Řádová část

Při převodu části čísla z desítkové soustavy za desetinnou čárkou do nějaké jiné opět můžete využít dva způsoby.

Metoda postupného násobení

Při metodě postupného násobení opakovaně vykonáváte následující kroky:

1. Vynásobíte desetinnou část čísla z desítkové soustavy cifrou, která představuje základ (bázi) soustavy Z, do níž převádíme.
2. Na příslušnou poziciv čísle o základu Znapíšete cifru (či znak),která se objevila po násobení před desetinnou čárkou.
3. V případě potřeby odečtem zařídíte, aby před desetinnou čárkou zůstala nula.

Obecný zápis může vypadat takto (cc_i je celá část a zc_i je zlomková část čísla vzniklého násobením v příslušném kroku):

H₁₀ × Z = a_-1 + 0,zc₁ 
0,zc₁ × Z = a_-2 + 0,zc₂ 
0,zc₂ × Z = a_-3 + 0,zc₃  
. 
. 
. 

Číslo v nové soustavě o základu Z získáme prostým přepisem celých částí:

H_Z = (0,a_-1a_-2a_-3...)_Z

 Co značí ... na konci?

Metoda postupného odčítání

Podobně jako u celé části, lze i u zlomkové využít na stejném principu založenou metodu postupného odčítání.

2.3. Cvičení k převodům z desítkové soustavy

Převeďte následující čísla z desítkové soustavy do zadané jiné poziční soustavy:

1. 434₁₀ = ?₃
2. 63,725₁₀ = ?₂
3. 0,656433105468750₁₀ = ?₁₆
4. 9,85₁₀ = ?₈

Převody zapište včetně postupů.

Tipy pro řešení

Na možné postupy převodů se podívejte do předchozích částí studijní kapitoly. Pokuste si jich procvičit více, abyste si mohli vybrat ten nejlepší.

Návrh řešení

Návrh řešení si prohlédněte až potom, co se pokusíte o nějaké vlastní. U každého řešení jsme aplikovali jiný postup.

1. 434₁₀ = ?₃

2. 63,725₁₀ = ?₂

3. 0,656433105468750₁₀ = ?₁₆

4. 9,85₁₀ = ?₈

Samozřejmě jste mohli použít v jednotlivých příkladech i jiné postupy

2.4. Shrnutí

 Převody z desítkové soustavy jsou dnes již samozřejmě záležitostí prostředků digitálních technologií. Ve studijním článku jste ovšem poznali dva způsoby, na kterých jsou založeny. Ve cvičení jste si mohli procvičit převádění na konkrétních příkladech včetně zápisu postupů, které budou vyžadovány v testu.

Zdroje

Další informace k tématu převádění z desítkové soustavy do dalších můžete nalézt mezi jinými i v tomto zdroji.

• ANTOŠOVÁ, Marcela a Vratislav DAVÍDEK. Číslicová technika. České Budějovice: Kopp, 2003, 305 s. ISBN 80-7232-206-0.

3. Převody do desítkové soustavy

Převod z poziční soustavy, jejíž bázi tvoří celé číslo větší než jedna a různé od desítky, do desítkové soustavy je velmi snadný. Uskutečníte ho prostým dosazením do řady:

H₁₀ = a_n-1 × Z^n-1  + a_n-2 × Z^n-2 + ...+ a₁ × Z¹ + a₀ × Z⁰ + a_-1 × Z^-1 + ...+ a_-m× Z^-m

• a_i je cifra od 0 do Z-1 (příp. znak) soustavy, ze které převod provádíte;
• Z je základ (báze) soustavy, ze které převádíte;
• n je nejvyšší řád s nenulovou cifrou v čísle, které převádíte;
• m je nejnižší řád s nenulovou cifrou v čísle, které převádíte.

Když po dosazení do této mocninné řady provedete její součet, získáte číslo v desítkové soustavě, které odpovídá číslu ze soustavy, z níž jste převáděli.

Obr. 3: Schéma převodu z jiné soustavy do desítkové.

Co se může stát při převodu čísla, které má nenulovou zlomkovou část (resp. neukončený rozvoj za řádovou čárkou)?

3.1. Cvičení k převodům z jiných pozičních soustav do desítkové

Převeďte čísla ze zadaných pozičních soustav do desítkové soustavy a zapište i postup:

1. 121002₃
2. 0,A80C₁₆
3. 21,01₂
4. 507,34631₈

Tipy pro řešení

Využijte dosazení do mocninné řady a proveďte její součet:

H₁₀ = a_n-1 × Z^n-1  + a_n-2 × Z^n-2 + ...+ a₁ × Z¹ + a₀ × Z⁰ + a_-1 × Z^-1 + ...+ a_-m× Z^-m

Návrh řešení

Návrh řešení si prohlédněte až potom, co se pokusíte o nějaké vlastní.

1. 121002₃ = ?₁₀

2. 0,A80C₁₆ = ?₁₀

3. 21,01₂ = ?₁₀

4. 507,34631₈ = ?₁₀

3.2. Shrnutí

 Ve třetí kapitole jste poznali, že převod z jiné poziční soustavy do desítkové je opravdu velmi snadný. Jedná se pouze o dosazení do a provedení součtu mocninné řady.

Zdroje

Další informace k tématu převádění z jiných pozičních soustav do desítkové můžete nalézt mezi jinými i v tomto zdroji.

• ANTOŠOVÁ, Marcela a Vratislav DAVÍDEK. Číslicová technika. České Budějovice: Kopp, 2003, 305 s. ISBN 80-7232-206-0.

4. Převody mezi pozičními soustavami obecně

Pokud potřebujete převádět mezi různými pozičními soustavami o nedesítkovém základu, je přímá cesta zbytečně složitá, protože by se musela hledat pro každou dvojici soustav zvlášť.

 Jakým způsobem tedy tento problém hromandně vyřešíte?

Při převodu mezi pozičními soustavami o jiném než desítkovém základu přes desítkovou soustavu si musíte být samozřejmě vědomi problému, který může nastat, jestliže převodem z desítkové soustavy vznikne číslo s nekonečným rozvojem či periodou ve zlomkové části za řádovou čárkou. Vzpomeňte si na některé příklady, které jsme si již ukazovali.

4.1. Zrychlený převod mezi osmičkovou a dvojkovou soustavou

V některých případech může být i při uvažovaném obecném případu efektivnější přímý převod, protože mezi bázemi soustav existuje zajímavý vztah.

 Jaký vztah naleznete mezi soustavami s bázemi 8 a 2?

Obr. 5: Schéma zjednodušeného převodu mezi 8. a 2. soustavou.

U převodu z binární soustavy vytváříme potřebné bloky trojic zprava (počítáno od řádu Z⁰). Pro určení první cifry v oktalové soustavě bychom pak nemuseli zdánlivě mít v binární soustavě dostatek míst (tedy tři). V takovém případě ovšem není problém si přimyslet na doplnění požadovaného počtu míst zleva nuly, protože hodnotu čísla v binární soustavě nemění.

10,11011₂ = 010|,110|110 = 2,66₈

Převod zlomkové části je samozřejmě analogický, potřebné trojice vytváříme od řádové čárky vpravo. Pokud nám pozice chybí, můžeme si vpravo doplnit nevýznamové nuly.

50,734₈ = 101|000|,111|011|100 = 101000,1110111₂

4.2. Zrychlený převod mezi šestnáctkovou a dvojkovou soustavou

V některých případech může být i při uvažovaném obecném případu efektivnější přímý převod, protože mezi bázemi soustav existuje zajímavý vztah.

 Jaký vztah naleznete mezi soustavami s bázemi 16 a 2?

Obr. 6: Schéma zjednodušeného převodu mezi 16. a 2. soustavou.

U převodu z binární soustavy vytváříme potřebné bloky čtveřic zprava (počítáno od řádu Z⁰). Pro určení první cifry (znaku) v hexadecimální soustavě bychom pak nemuseli zdánlivě mít v binární soustavě dostatek míst (tedy čtyři). V takovém případě ovšem není problém si přimyslet na doplnění požadovaného počtu míst zleva nuly, protože hodnotu čísla v binární soustavě nemění.

110,11011₂ = 0110|,1101|1000 = 6,D9₁₆

Převod zlomkové části je samozřejmě analogický, potřebné čtveřice vytváříme od řádové čárky vpravo:

5A,734₁₆ = 0101|1010|,0111|0011|0100 = 1011010,0111001101₂

4.3. Cvičení ke zrychleným převodům mezi pozičními soustavami

Převeďte následující čísla z dvojkové do požadované soustavy:

1. 0,11011₂ = ?₈
2. 101,101₂ = ?₁₆

Převeďte následující čísla do dvojkové soustavy:

1. 0,7D4₁₆ = ?₂
2. 4703,12₈ = ?₂

Postupy převodů zapište.

Tipy pro řešení

Pro správné řešení prostudujte předchozí studijní kapitoly. Využijte toho, že 2³ = 8, resp. 2⁴ = 16.

Návrh řešení

Návrh řešení si prohlédněte až potom, co se pokusíte o nějaké vlastní.

0,11011₂ = ?₈

101,101₂ = ?₁₆

0,7D4₁₆ = ?₂

4703,12₈ = ?₂

4.4. Shrnutí

  Ve čtvrté kapitole jste si uvědomili, že dovednosti získané ve druhé a třetí kapitole lze mezi sebou vhodně kombinovat, abychom mohli převádět čísla mezi libovolnými soustavami s celočíselným základem. Zároveň jste si ve cvičení vyzkoušeli i zrychlené převody mezi binární soustavou a soustavami, které mají základ v podobě mocniny dvojky. Uvedené dovednosti využijete v prvním zápočtovém testu, ale především v další praxi spojené s technikou počítačů i počítačovými sítěmi.

Zdroje

Další informace k tématu obecnému převádění mezi pozičními soustavami můžete nalézt mezi jinými i v tomto zdroji.

• ANTOŠOVÁ, Marcela a Vratislav DAVÍDEK. Číslicová technika. České Budějovice: Kopp, 2003, 305 s. ISBN 80-7232-206-0.

5. Typové příklady z číselných soustav k prvnímu testu

1. Převeďte číslo 1000002₃ z trojkové soustavy do osmičkové a šestnáctkové. Všechny postupy zapište.
2. Převeďte číslo 11,45₁₀ do dvojkové soustavy. Všechny postupy zapište.
3. Porovnejte čísla 1FE₁₆ a 840₈. Všechny postupy zapište.
4. Porovnejte čísla 12022₃ a 10011011₂. Všechny postupy zapište.

Tipy pro řešení

U prvního příkladu na nezapomeňte využít jako prostředníka desítkovou (a případně dvojkovou) soustavu.

U druhého příkladu zřejmě budete potřebovat převést zvlášť celou a desetinnou (řádovou, zlomkovou) část, na což můžete využít různé metody. Zároveň je tento příklad připomínkou jisté zvláštnosti.

Třetí příklad se vztahuje k první kapitole.

U čtvrtého příkladu nezapomeňte využít jako prostředníka desítkovou soustavu.

Pokud se rozhodnete pro řešení v MS Excel, můžete využít funkce MOD(), POWER() a USEKNOUT(). Vyhněte se naopak využití funkcí, které převádí mezi některými soustavami přímo.

Návrh řešení

Postup řešení tentokrát cíleně nenabízíme, abyste nebyli neustále zbytečně ovlivňováni. Pokud byste si zvoleným postupem nebyli jisti, samozřejmě kontaktujte vyučujícího (tutora). Po kliknutí zjistíte pro kontrolu alespoň výsledky, ale podívejte se na ně, až po pokusu o vlastní řešení.