Náměty aktivit pro popularizaci matematiky

Řešení jednoduchých optimalizačních úloh pomocí softwaru dynamické geometrie

Jednoduché optimalizační úlohy zadávané většinou jako úlohy slovní lze dosti často vhodně řešit použitím grafické metody, resp. tuto metodu využít ke zjednodušení komplikovaného početního řešení. Oproti klasickému "statickému" znázornění náčrtkem na papíře lze úspěšně postavit některé nástroje dynamické geometrie, především aplikaci GeoGebra (pro nekomerční užití zdarma dostupná na stránce http://www.geogebra.org), v níž uživatel může nejen konstruovat geometrické objekty, pracovat s geometrickými zobrazeními či například vyšetřovat průběhy funkcí, ale využívat ji i způsoby, které u dalších programů dynamické geometrie nejsou možné. V případě řešení jednoduchých optimalizačních úloh je tak možné vytvořit názorný interaktivní náčrt zadané situace a zkoumat změny, které nastanou při změně vstupních parametrů.

Příklad (Rozvoz mléka): Mléko z mlékárenských závodů ve městech A a B se vozí také do měst R, S a T. Denně se může z A dodat 250 přepravek s mlékem a z B 350. Denně je potřeba dodat 150 přepravek do R, 240 přepravek do S a 210 přepravek do T. Nalezněte způsob rozvozu, při kterém budou náklady nejnižší. Náklady na přepravu jedné přepravky z mlékárenského závodu do místa prodeje jsou v tabulce.

Řešení: Hledání optimalizovaného výstupu v zásadě odpovídá nalezení extrému (minima) funkce více proměnných v oblasti omezené danými podmínkami. V našem případě je nejprve nutné volit dvě neznámé x a y udávající počty přepravek dopravených z A do R a z B do R a počty zbývajících přepravek vyjádřit podle podmínek uvedených v zadání.

Z obou tabulek je následně možné konstruovat tzv. účelovou funkci, která vypovídá o výstupní hodnotě nákladů na přepravu f(x, y) = 4x + 3y + 5·(250 - x - y) + 5·(150 - x) + 6·(240 - y) + 4·(x + y - 40), po úpravě f(x, y) = -2x - 4y + 3280. Podmínky pro omezení oblasti pak také vychází z vyjádření v tabulce: x ≥ 0, x ≤ 150, y ≥ 0, y ≤ 240, x + y ≤ 250, x + y ≥ 40. Zanesené do soustavy souřadnic v programu GeoGebra jsou vidět na obrázku, kde tvoří n-úhelník.

Grafické znázornění podmínek (obrázek vlastní tvorby)

Na tento n-úhelník lze v programu umístit bod, třeba bod A, a též textové pole, do něhož bude vypisována funkční hodnota účelové funkce pro příslušné souřadnice x a y bodu A. Změnou polohy bodu A je dosaženo změny funkční hodnoty a jeho posunováním ve vymezené oblasti je možné experimentálně odhalit, kde nabyde funkce f(x, y) své minimum. Interaktivní figura odpovídající zadání příkladu je k nalezení v sekci Multimédia k badatelské aktivitě.

Hodnoty souřadnic x a y bodu A pak budou částí hledaného řešení zadané úlohy. V našem případě nalezneme minimum účelové funkce ve vrcholu n-úhelníku o souřadnicích [10; 240], následně je možné dopočítat i zbývající neznámé.

Tabulka s optimalizovaným rozpisem rozvozu přepravek vypadá následovně:

a slovní odpověď zní, že nejnižší náklady na přepravu budou tehdy, pokud bude z A do R přepraveno 10 přepravek, z A do S 240, z B do R 140 a z B do T 210 přepravek.

Obdobnými způsoby lze samozřejmě řešit i další jednoduché optimalizační úlohy, pro ilustraci uvádíme některá další zadání podobných příkladů:

Příklad (Tovární hala): V tovární hale je instalováno 60 strojů typu I a 40 strojů typu II, podnik však může získat na práci ve druhé směně nejvýše 80 dělníků. Na každém stroji typu I vyrobí dělník za směnu nejvýše 200 kusů výrobku A, na každém stroji typu II nejvýše 300 kusů výrobku B. Plán požaduje vyrobit aspoň 12.000 kusů celkem za směnu. Každý stroj I má hodinový příkon 5 kW, každý stroj II má hodinový příkon 15 kW, pro celou halu je limit 750 kW. Při kterém rozdělení dělníků ke strojům typu I a II dosáhne druhá směna maximálního čistého zisku pro podnik, jestliže z jednoho kusu výrobku A je zisk 80 euro a z jednoho kusu výrobku B je zisk 100 euro?

Příklad (Osevní plocha): Na celkové výměře maximálně 10 hektarů se má pěstovat pšenice a cukrovka tak, aby tržní produkce byla co největší. Pšenice se z agrotechnických důvodů nesmí pěstovat na více než 4 hektarech. Jako činitele výroby uvažujeme jen počet pracovních hodin, přičemž zdrojem výroby je celkový počet pracovních hodin v jednotlivých měsících špičkových prací, které jsou uvedeny v tabulce.

Příklad (Krmná směs): Z krmných surovin A a B je třeba namíchat nějaké množství krmné směsi tak, aby byly splněny tři živinové požadavky P, Q a R a aby směs byla co nejlevnější. Údaje potřebné k výpočtu jsou v tabulce.

Příklad (Fotoaparáty): Závod na výrobu fotoaparátů vyrábí dva druhy A a B. Velkoobchodní cena aparátu A je 1000 euro, fotoaparátu B 500 euro. Jestliže odečteme od těchto cen vlastní náklady spojené s výrobou každého kusu fotoaparátu (pro A je to 600 euro, pro B 200 euro), můžeme říci, že čistý zisk podniku za jeden fotoaparát A je 400 euro, za fotoaparát B 300 euro. Kapacitu dílen vyjádřenou v počtu kusů výrobků A a B zhotovených za kvartál vyjadřuje tabulka. Je třeba zjistit, kolik fotoaparátů A a kolik fotoaparátů B za kvartál má závod vyrobit, aby byl zisk maximální. (Předpokládáme, že závod není při výrobě fotoaparátů vázán žádným plánem, pokud jde o počet kusů jednotlivých typů výrobků.)

Metodický list pro badatelskou aktivitu

Multimédia k badatelské aktivitě

Interaktivní geometrická figura k příkladu jednoduché optimalizační úlohy je ke stažení zde. K jejímu spuštění je nutné mít nainstalovanou a aktualizovanou Javu a program GeoGebra.

Vyznačená modrá oblast (n-úhelník) je oblastí roviny omezenou podmínkami vycházejícími ze zadání slovní úlohy. Bodem A, který je k n-úhelníku přichycen, lze pohybovat a v závislosti na jeho poloze (a tedy změně jeho souřadnic v rovině) se mění hodnota účelové funkce odpovídající ceně. Posunutím bodu do některého z vrcholů n-úhelníku lze objevit minimum (nebo také maximum) účelové funkce, a tedy i optimální rozdělení převážených přepravek.

Izoperimetrické úlohy (do 45 min)

Několika pokusy provedenými fyzicky i výpočtem jsou studenti motivováni k seznámení se s typem úloh, v nichž se požaduje nalezení hodnot či křivek poskytující maximální či minimální hodnotu funkce při zadaných podmínkách. Izoperimetrické úlohy jsou základním typem úloh variačního počtu. Variační počet má široké uplatnění ve fyzice zejména s ohledem na názor, že fyzikální děje probíhají tak, že splňují nějakou extremální úlohu. (Např. nejkratší dráha světelného paprsku při průchodu různými prostředími, úloha o brachystochroně - o nalezení dráhy hmotného bodu spojující dva body ve svislé rovině tak, aby se hmotný bod z výchozího do koncového bodu pohyboval pouze vlivem gravitace a zvládl to za nejkratší možný čas atd.).

Úkol 1. Pomocí řetízku nebo snadno ohybatelného drátu vymodeluj pět různých trojúhelníků na čtvercové síti. Užitím čtvercové sítě urči přibližně jejich obsah.

Který z trojúhelníků má největší obsah? Porovnej své výsledky s ostatními a charakterizuj trojúhelník s největším obsahem, kterého bylo ve skupině dosaženo.
-> Čím se trojúhelník více blíží rovnostrannému trojúhelníku, tím má větší obsah.

Který z trojúhelníků má největší obvod?
->  Všechny trojúhelníky mají stejný obvod daný rozměrem drátu nebo řetízku.

Má tedy smysl uvažovat o rovinných útvarech, které mají při daném obvodu největší obsah. To je základ tzv. izoperimetrických úloh.

Izoperimetrická úloha
Slovo „izoperimetrický“ vzniklo složením ze slov „isos“ a „perimetreo“. Slovo „isos“ pochází z řečtiny a v překladu znamená „stejný“. Na základě svých znalostí angličtiny (perimeter - obvod) snadno uhádneš význam druhého slova řeckého původu. Izoperimetrické úlohy se v užším smyslu zabývají útvary se stejným obvodem.

Úkol 2. Dokážeš odhalit, který z pravoúhelníků se stejným obvodem má největší obsah? Můžeš opět využít řetízek nebo drátek a čtvercovou síť.
-> Při daném obvodu má největší obsah ze všech pravoúhelníků čtverec.

O moudrosti včel
Pappos Alexandrijský napsal někdy ve 4. stol. n. l. ve své práci Synagogé v 5. knize nazvané O moudrosti včel:
Včely znají skutečnost, která je pro ně užitečná, a to, že šestiúhelník je větší než čtverec a trojúhelník a že se do něj vejde více medu při stejném výdeji materiálu na postavení plástve.

Úkol 3. Odhadni, který rovinný útvar má při daném obvodu maximální obsah. Nápověda: Zvyšuj počet stran konvexních mnohoúhelníků vytvářených z řetízku nebo drátu.
-> Intuitivně tušíme to, co napsal již Pappos, že ze všech rovinných útvarů se stejným obvodem je větší vždy ten, který má větší počet úhlů, a největší z nich je kruh jako případ "nekonečněúhelníku". 

Proč má kruh největší obsah při daném obvodu? (Důkaz proveden podle [1].)
(a) Předně rovinný útvar daného obvodu a maximálního obsahu musí být konvexní.
Pokud by rovinný útvar nebyl konvexní, lze na něm vhodně zvolit dvojice bodů X₁, Y₁, X₂, Y₂, ... tak, že všechny vnitřní body úseček X₁Y₁, X₂Y₂, ... nenáleží útvaru. Zobrazíme-li oblasti mezi úsečkami X₁Y₁, X₂Y₂, ... a hranicí nekonvexního útvaru v osové souměrnosti s úsečkami X₁Y₁, X₂Y₂, ..., dostaneme útvar, který má stejný obvod, ale větší obsah, viz obrázek.

Obr. 1 - vytvořen pomocí programu GeoGebra, Zdroj: vlastní tvorba

(b)  Rozdělují-li dva body A, D obvod útvaru na polovinu, pak v rovinném útvaru daného obvodu a maximálního obsahu úsečka AD dělí útvar na dva útvary stejného obsahu.
Pokud by rovinný útvar popsanou vlastnost neměl, pak by bylo možno v osové souměrnosti s osou AD zobrazit část útvaru s větším obsahem do poloroviny s částí útvaru menšího obsahu, viz obrázek. Na obrázku je šestiúhelník ABCDFE rozdělen na čtyřúhelníky ADCB a ADFE se stejnými obvody, ale různými obsahy. Šestiúhelník AEFDF'E' má zjevně větší obsah, neboť čtyřúhelník A'D'F'E', který je obrazem čtyřúhelníku AEFD v osové souměrnosti s osou AD, má větší obsah než čtyřúhelník ADCB.

Obr. 2 - vytvořen pomocí programu GeoGebra, Zdroj: vlastní tvorba

(c) Zbývá ukázat, že ze všech křivek dané délky a s koncovými body A, D na pevně dané přímce uzavírá s úsečkou AD největší plochu půlkružnice. Důkaz lze najít např. v [1].

Úkol 4. Který rovinný útvar s daným obsahem má nejmenší obvod?
-> Je to opět kruh.
Pokud by to nebyl kruh K, ale nějaký útvar U, pak by pro jejich obsahy platilo S_K = S_U a pro jejich obvody o_K > o_U. Vezměme kruh K', který má obvod o_U. Kruh s menším obvodem má menší obsah, proto S_K' < S_K = S_U. Na druhou stranu při daném obvodu o_U má největší obsah kruh, tedy S_K' > S_U = S_K. To vede ke sporu a k tomu, že předpoklad existence útvaru U se stejným obsahem, jako má kruh K, a obvodem menším, než je obvod kruhu, nebyl správný.
Pokud bychom naopak věděli, že rovinným útvarem s daným obsahem a nejmenším možným obvodem je kruh, pak by šlo ukázat, že při daném obvodu má kruh největší obsah. Opět, pokud by při daném obvodu neměl největší obsah kruhu K, ale nějaký útvar U, pak by pro jejich obvody platilo o_K = o_U a pro jejich obsahy S_K < S_U. Vezměme kruh K', který má obsah S_U, tj. S_K' = S_U. Kruh s větším obsahem má větší i obvod, proto o_K' > o_K = o_U. Na druhou stranu při daném obsahu S_U má nejmenší obvod kruh, tedy o_K' < o_U = o_K, což vede ke sporu a nekonstruktivnímu potvrzení neexistence daného útvaru U.

Ekvivalentnost dvou tvrzení o kruhu
Ukázali jsme, že tvrzení o tom, že kruh je rovinný útvar, který má při daném obvodu největší obsah, je ekvivalentní s tvrzením, že kruh je rovinný útvar, který má při daném obsahu nejmenší obvod.

Úkol 5. Vymysli analogickou úlohu k úkolu 3 v prostoru a její řešení.
-> Který prostorový útvar má při daném povrchu největší objem? Který prostorový útvar má při daném objemu nejmenší povrch?
K analogické úvaze očekáváme analogický útvar jako řešení, tím je v tomto případě koule.

Řešme nyní úlohy v prostoru, v nichž se za daných podmínek má najít maximální objem nebo minimální povrch.

Úkol 6. Ze čtvercového kousku pozinkovaného plechu o straně a = 15 cm se má vyrobit nádoba se čtvercovým dnem shora otevřená. Jaký největší objem může mít nádoba? (Zadání úlohy převzato z [3], str. 312.) 
Zkus řešit úlohu experimentálně - tvoř různé nádoby s využitím čtverce vystřiženého ze čtverečkovaného papíru. Objemy takových nádob se snadno vypočtou.

->  Má-li mít nádoba čtvercové dno a maximální objem, musí být střed čtverce, který reprezentuje dno, shodný se středem čtverce - pozinkovaného plechu. Jinak by boční stěny ve tvaru obdélníku neměly stejné rozměry. Označme hledanou délku hrany podstavy x, potom podstavu tvoří čtverec s rozměrem x a boční stěny obdélníky s rozměry x a ½.(a-x).

Obr. 3 - vytvořen pomocí programu GeoGebra, Zdroj: vlastní tvorba

Pro objem nádoby se čtvercovou podstavou při daném označení platí:
V = x².½.(a-x).
Úkolem je najít hodnotu x, pro niž je V maximální.
(1) Ti, kdož znají diferenciální počet, si s úlohou snadno poradí. Výpočet první derivace vede k jedinému smysluplnému stacionárnímu bodu x = 2a/3 a výpočtem druhé derivace se ověří, že jde skutečně o bod, v němž V dosahuje maximální hodnoty, a to V = (2a/3)².½.(a-2a/3) = 2a³/27. 
(2) Největší objem však lze najít i elementárním způsobem - řešením nerovnice s parametrem. Jako parametr volíme např. m - maximální hodnota objemu. Pak pro každé přípustné x platí:
 x².½.(a-x) ≤ m
Hledáme takovou hodnotu parametru m, aby předchozí rovnice měla řešení pro libovolné přípustné x. Vzhledem k technické náročnosti tohoto postupu, zvolíme postup popsaný v bodě (3).
(3) V tomto postupu využijeme nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem (AG-nerovnost),

pro n = 3, tj. ve tvaru

Funkci V = x².½.(a-x) lze psát též ve tvaru V = x.x.(½.a - ½.x). Její maximum nastane ve stejném bodě x, i když ji vynásobíme 4. (Čtyřmi násobíme z toho důvodu, aby se v součtu činitelů vyloučila neznámá x, viz níže.) Hledejme proto maximum funkce
4V = x.x.(2a - 2x)
Ta je pro využití AG-nerovnosti vhodnější než původní, protože součet činitelů v jejím předpisu je roven konstantě, x + x + (2a - 2x) = 2a. S využitím AG-nerovnosti pro n = 3 dostáváme

a odtud je po umocnění na třetí
4V = x.x.(2a - 2x) ≤ (8/27)a³
V = x.x.½.(a - x) ≤ (2/27)a³

Maximální hodnota objemu je tedy 2a³/27. Této hodnoty objem dosáhne jen tehdy, když v AG-nerovnosti nastane rovnost. Výrazy na obou stranách AG-nerovnosti se rovnají, pokud a₁ = a₂ = a₃. V našem případě tedy x = x = 2a - 2x. Poslední vztah vede k hodnotě x = 2a/3. Pro a = 15 cm bude mít nádoba maximální objem, zvolíme-li její podstavnou hranu x = 10cm. Objem nádoby bude 250 cm³.
(4) Ti, kteří dávají přednost řešení s využitím počítače, mohou přibližnou hodnotu maximálního objemu V i hodnotu x určit pomocí funkce "Řešitel" v aplikaci Microsoft Excel. Je-li k dispozici dokonce program Mathematica, můžeme využít vestavěných funkcí pro řešení postupem (1) nebo (2).

Úkol 7. Při jaké vzájemné poloze úsečky AB, |AB| = l, a osy o, kolem které úsečka rotuje, má vzniklé rotační těleso minimální obsah pláště za podmínky, že aspoň jeden bod úsečky je od osy o vzdálen právě r, l/2 < r < l?
-> Rozmysleme nejprve, jaká tělesa mohou vzniknout rotací úsečky AB kolem osy o.

Obr. 4 - vytvořeny pomocí programu GeoGebra, Zdroj: vlastní tvorba

I. Je-li úsečka AB rovnoběžná s osou o, kolem níž se otáčí, pak rotací vznikne plášť válce s poloměrem odpovídajícím vzdálenosti úsečky AB od osy a s výškou, která je rovna délce úsečky AB, viz obrázek. Plášť lze rozvinout do obdélníku s rozměry |AB| = l a o = 2πr, proto je obsah pláště 
         S_pl = 2πrl.

II. Je-li úsečka AB různoběžná s osou o tak, že s ní má společný jeden z krajních bodů, vznikne její rotací kolem osy o plášť kužele s kruhovou podstavou o poloměru r a s výškou √(l² - r²), viz obrázek. Plášť kužele tvoří kruhová výseč, která vznikla z kruhu o poloměru |AB| = l. Obsah pláště je roven
         S_pl = πrl.

III. Pokud je AB opět různoběžná s osou o jako v případě II., ale nemá s osou žádný společný bod, vytvoří rotující úsečka plášť komolého kužele. Protože jeden z krajních bodů, např. bod A, je od osy o vzdálen r, je krajní bod B od osy vzdálen ρ, kde buď ρ > r (viz obrázek), nebo ρ < r (bez obrázku). Obsah pláště komolého kužele s podstavami o poloměrech r a ρ můžeme vypočítat z předpisu
         S_pl = π(r + ρ)l.

IV. Úsečka AB může být s osou o různoběžná také tak, že s ní má společný jeden bod. V takovém případě vzniknou dva pláště kuželů K₁, K₂ se společným vrcholem, tj. plášť dvojkužele. Vzhledem k podmínce, že aspoň jeden bod úsečky je od osy o vzdálen aspoň r, má jeden z kuželů, např. K₂, poloměr r. Rozměry K₁ určíme v závislosti na délce strany kužele K₂, kterou označme x. Délka strany K₁ je l-x. Kužely jsou podobné s koeficientem podobnosti daným poměrem jejich stran, tj. (l-x):x. Proto je poloměr K₁ roven r.(l-x):x. Obsah pláště, který vznikne rotací úsečky různoběžné s osou, která s ní má jeden společný bod, je dán předpisem
         S_pl = πrx +πr(l-x).(l-x):x,
což lze upravit na tvar
         S_pl = πr[2x - 2l + l²/x].

• Z vyvozených vztahů je zřejmé uspořádání prvních tří těles podle obsahu pláště: válec, komolý kužel, kužel pro ρ < r, resp. komolý kužel, válec, kužel pro ρ > r, kde ρ je vzdálenost bodu B od osy. Zda je plášť dvojkužele pro nějaké vhodné x menší než plášť kužele a pro jaké x to případně nastane, zjistíme výpočtem.

• Zapišme podmínku, že obsah pláště dvojkužele je menší než obsah pláště kužele, nerovnicí:
      πr[2x - 2l + l²/x] < πrl
Jednoduchými úpravami dospějeme k nerovnici
      2x² - 3lx + l² < 0,
kterou lze napsat v součinovém tvaru:
      (2x - l)(x - l) < 0

Řešením nerovnice jsou všechna x větší než l/2 a menší než l. Zvolíme-li stranu x kužele K₂ s poloměrem r v rozmezí od l/2 do l, bude obsah pláště dvojkužele menší než obsah pláště kužele. Pro x = l/2 a x = l dostaneme rovnost obsahů plášťů. Pro x = l je to evidentní, protože v takovém případě je dvojkužel pouze kuželem. Pro x = l/2 získáváme elementární poznatek, že obsah pláště kužele se stranou l je stejný jako součet obsahů plášťů dvou stejných kuželů s polovičními stranami a stejným poloměrem.

• Má tedy smysl zjistit, pro kterou hodnotu x je S_pl, obsah pláště dvojkužele, nejmenší. Opět se nabízí několik možností, jak zjistit minimum, v závislosti na znalostech a technických podmínkách.

(1) Užitím diferenciálního počtu. Po zderivování funkce S_pl podle x lze stacionární bod určit z rovnice πr[2 - l²/x²] = 0. Obsah pláště je tedy nejmenší, když x = l.√2/2, tj. když vrchol dvojkužele rozdělí úsečku AB v poměru 1:√2.

(2) Elementární postup vede k diskusi řešení nerovnice s parametrem S_pl ≥ m, tj.
         πr[2x - 2l + l²/x] ≥ m,
kde m je minimiální obsah pláště dvojkužele. Zjistíme z ní, pro které hodnoty parametru m má nerovnice za řešení libovolné x větší než l/2 a menší než l, což jsou všechna x, která nás zajímají. Předchozí nerovnici upravíme na kvadratickou nerovnici
         x² - x[l + m/(2πr)] + l²/2 ≥ 0,
a následně doplněním na čtverec na nerovnici
         {x - [l/2 + m/(4πr)] }² + l²/2 - [l/2 + m/(4πr)]² ≥ 0.
Ta je ve tvaru X² + A ≥ 0, o kterém víme, že má za řešení libovolné X, když A ≥ 0. Proto má předchozí nerovnice za řešení libovolné x pro
          l²/2 - [l/2 + m/(4πr)]² ≥ 0,
tj. pro 
          l²/2  ≥ [l/2 + m/(4πr)]^2.
Protože l, m, π, r jsou kladná čísla, je uvedená nerovnice ekvivalentní s nerovnicí
          l/√2 ≥ l/2 + m/(4πr).
Po jednoduchých úpravách je
          2πrl(√2 - 1) ≥ m,
a tedy S_pl = 2πrl(√2 - 1) je nejmenší obsah pláště dvojkužele v souladu se zjištěním z bodu (1).

(3) Stejně jako v úkolu 6 lze i nyní pro nalezení extrému využít nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem. Tentokrát využijeme AG-nerovnost pro n = 2 na součet 2x + l²/x, který se objevuje v předpisu pro výpočet obsahu pláště dvojkužele. Pro aritmetický průměr výrazů 2x a l²/x platí:
          [2x + l²/x]/2 ≥ √[(2x).(l²/x)].
 Obě strany nerovnosti vynásobíme 2, odečteme od nich 2l a výsledek vynásobíme πr. Tím dostaneme
         πr[2x - 2l + l²/x] ≥ πr.2l.(√2 - 1),
tedy podmínku pro nejmenší možný obsah pláště dvojkužele.

(4) Ukažme, jak by se minimum našlo pomocí funkcí dostupných v Excelu a v programu Mathematica.
A. Funkce "Řešitel" v Excelu umí najít hodnotu výrazu, která se rovná zadané hodnotě anebo je minimální či maximální, při změně některých členů zkoumaného výrazu. Zadejme v sešitě hodnoty tak, jak je vidět na obrázku. V buňce s minimálním obsahem pláště je zadán předpis pro výpočet obsahu pláště dvojkužele, který budeme minimalizovat. Délka strany AB byla stanovena pevně jako 2, poloměr r jako 1,5, délka strany x většího kužele jako 1,75, protože Excel umí počítat jen s konkrétními čísly, nikoli s proměnnými.

Obr. 5 - vytvořeno pomocí programu MS Excel, Zdroj: vlastní tvorba

Nyní volbou Data -> Řešitel nastavme buňku obsahující délku strany x jako měněnou, buňku se vzorcem pro výpočet obsahu pláště jako buňku s požadovaným minimem v závislosti na x a rovněž zadejme další omezující podmínky podle obrázku. 

Obr. 6 - vytvořeno pomocí programu MS Excel, Zdroj: vlastní tvorba

Volbou "Řešit" spustíme řešení, které dává minimální hodnotu obsahu pláště při délce strany x = 1,4142..., viz obrázek.

Obr. 7 - vytvořeno pomocí programu MS Excel, Zdroj: vlastní tvorba

Při pevně dané délce rotující úsečky a vzdálenosti, kterou má od ní mít právě jeden bod úsečky, dosáhneme minimálního obsahu pláště dvojkuželu, pokud bude délka strany většího kužele přibližně 1,414. To je v souladu s výsledky zjištěnými dříve, neboť x:l je v tomto případě také √2:2, tj. 1:√2. Excel vypočte minimální hodnotu obsahu pláště pro nalezené x a pevně zvolené hodnoty. Chceme-li výsledek ve tvaru předpisu s proměnnými l a r, dosadíme ve vztahu S_pl = πr[2x - 2l + l²/x] za x hodnotu √2.

 B. Máme-li k dispozici program Mathematica aspoň verze 5.0 lze úlohu vyřešit s použitím funkce Reduce, viz obrázek, nebo užitím diferenciálního počtu pomocí funkce D pro derivování a funkce Solve pro řešení rovnic, viz další obrázek.

Obr. 8 - vytvořeno pomocí programu Mathematica, Zdroj: vlastní tvorba

Zadáme předpis pro výpočet obsahu pláště dvojkužele, z nějž chceme vyloučit x za podmínky, aby S bylo minimální. Do funkce Reduce zadáme kvantifikovanou formuli s omezujícími podmínkami. Ve výsledku se orientujeme pomocí znaku ||, které znamená logické "nebo", a znaku &&, který představuje "a zároveň". Na posledním řádku čteme, že minimum m je menší nebo stejné jako hodnota výrazu -2lπr + 2√2π √(l²r²), který lze vzhledem k √(l²r²) = lr pro kladná l, r upravit na 2lπr(-1 + √2), když r < l < 2r, tj. za podmínek daných úlohou je minimální obsah pláště dán předpisem zjištěným již v (1), (2), (3).

Řešení s využitím diferenciálního počtu v programu Mathematica je zřejmé z dalšího obrázku.

Závěrem poznamenejme, že je zajímavým cvičením promyslet, jak se změní uspořádání těles (i jiných útvarů) podle obsahu pláště, když připustíme jiné vztahy mezi r a l a nebudeme trvat na podmínce, že aspoň jeden z krajních bodů úsečky AB je vzdálen právě r.

Použitá literatura:
[1] http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality 
[3] Kowal, S., Matematika pro volné chvíle. SNTL: Praha, 1975

Metodický list pro badatelskou aktivitu 2

Do tabulky níže rozpracujte jeden zcela konkrétní námět aktivity.

Multimédia k badatelské aktivitě 2

Doporučený multimediální materiál

Odkazy do internetu k pracovním listům, prezentacím, videím, animacím, apletům nebo jiným dostupným materiálům relevantním k námětu aktivity.

•
 http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml

•
 http://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality 

Metoda Monte-Carlo

Jedním z nejstarších popsaných případů využití metody Monte Carlo je problém Buffovy jehly, nazývaný po matematikovi Buffonovi. Ten se roku 1777 snažil dosáhnout hodnoty π náhodným vrháním jehly na linkovaný papír.

Pravděpodobnost, že jehla stejné délky, jako je mezi linkami, po dopadu na papír leží tak, že protíná některou z linek, je rovna: 

Metoda Monte Carlo má dnes již padesátiletou historii. Přesněji byla zformulována a především využívána během druhé světové války. Vymysleli ji vědci Johan von Neumann a Stanislav Ulam ze Spojených států amerických. Přišli na ni při výzkumu chování neutronů a možnosti jejich pronikání různými látkami. Objevil se zde ale problém, a to jak určit procento neutronů v určité spršce, která pronikne například nádrží s vodou. Tento problém nešel řešit ani teoreticky, ani prakticky, i když znali nezbytné údaje. Neumann a Ulam vyřešili problém geniálně, využili k modelování předpovědi známou techniku kola rulety. Odtud také pochází její název Metoda Monte Carlo.

Metoda Monte Carlo je numerická metoda, kterou je možno použít např. pro stanovení odhadu určitých (popř. nevlastních) integrálů, pro nalezení řešení soustav (systémů) rovnic. Kromě toho nachází uplatnění při modelování fyzikálních dějů, zejména v termodynamice. Princip metody spočívá ve formulaci nové úlohy mající náhodný charakter, jejíž řešení se shoduje s řešením původní úlohy, a dále také spočívá v řešení nové úlohy pomocí statistických experimentů. Existují dva možné přístupy při řešení úloh metodou Monte Carlo:

1) geometrická metoda založená na geometrické pravděpodobnosti,

2) výpočet založený na odhadu střední hodnoty náhodné proměnné.

Motivační příklad - aproximace Ludolfova čísla π

Velikost obsahu kruhu je dána známým vzorcem , a tedy čtvrtina velikosti této plochy činí . Zavedeme souřadný pravoúhlý systém. V prvním kvadrantu zobrazíme jednotkový čtverec, jehož vrchol umístíme do počátku. Nechť tento počátek je středem kruhové výseče, kterou popišme využitím analytické geometrie nerovností  . Tuto situaci popisuje obrázek vlevo. Zavedeme sérii náhodných pokusů - vygenerujeme náhodné body , kde 

Pro názornost je možno tuto sérii spojovat se situací, v níž máme k dispozici n herních šipek, které postupně házíme na terč, kterým je onen jednotkový čtverec. Lze očekávat, že některé šipky dopadnou do kruhové výseče, jiné nikoliv. Předpokládejme, že jsme všech n šipek vhodili na čtverec. Definujme jev A náhodně vybraným bodem ležícím v kruhové výseči. Podle definice geometrické pravděpodobnosti můžeme psát  Vzdálenost bodu Xi ležícího v kruhové výseči od počátku souřadného systému je dána velikostí radiusvektoru A proto úspěšný pokus nastane, je-li splněna podmínka  V opačném případě, tj. pokud bod Xi splňuje podmínku  , nastane pokus neúspěšný. Pokud tedy nastane v n pokusech m úspěšných pokusů, kde m ≤  n, můžeme psát . Dále s využitím rovnosti  je nakonec možno zapsat vztah   a odtud Nyní je vše připraveno k implementaci v programu ® Wolfram Mathematica 8 .

Po provedení příkazů uvedených v souborech obsah kruhu a obsah trojúhelníku. Výsledek je zobrazen dále v následujících obrázcích: Rozmístění bodů v kruhu a mimo něj (celkově 100 000 pokusů)

Rozmístění bodů v kruhu a mimo něj (celkově 100 000 pokusů)

První položku (obsah kruhu) můžeme popsat přesněji pomocí metod programu Mathematica (podobně, ale komplikovaněji bychom mohli postupovat v prostředí MS Excel). V následujícím je tento postup popsán.

Samozřejmě, že můžeme podobný experiment provést i pomocí jednoduchých prostředků – je možné ho provádět pomocí hodů dvou kostek.

Informace ke stažení ve formátu pdf zde. 

Praktické ukázky metody

V této kapitole se budeme zabývat skutečnými možnostmi metody a pomocí ní řešit konkrétní úlohy.

První úloha je zjištění objemu kužele (následuje výpis souboru z prostředí Mathematica):

 Je zřejmé, že aproximace objemu je velmi pěkná.

Další praktickou ukázkou je zjištění objemu koule.

I v tomto případě je aproximace (přibližná hodnota) velmi přesná.

Samozřejmě, že v praktických cvičeních  je možné využívat i jiné prostředky - nejjednodušší postup je pomocí dvou či čtyř kostek simulovat hody do rozsáhlého rastru, který je překryt přes obrázek. Zjistit počet bodů uvnitř obrázku a poté pomocí poměru počtu bodů uvnitř útvaru a celkového počtu bodů nalézt i neznámou plochu či objem.

Pollardova rho metoda

Nevýhodou metody opakovaného dělení je její velká výpočtová složitost, pokud bude n veliké.

Je tedy přirozené, že se objevovaly alternativní metody. Jednou z nich je Pollardova rho metoda. Byla navržena v r. 1975 a je efektivnější než metoda opakovaného dělení. Poskytuje rovněž náměty k jednoduchému programování.

Pollardova rho metoda pro faktorizaci přirozených čísel

V jistém slova smyslu "si hrajeme" s pseudonáhodnými čísly. Zatímco v běžné loterii asi spíše či skoro určitě prohrajeme, v popisované metodě je náhoda naším spoluhráčem a můžeme se dostat rychle k výsledku.

Matematici hrají fair!

„Školní“ metoda pro nalezení rozkladu přirozeného čísla N  1 vyžaduje opakovat dělení čísly 2, 3, 4, 5, ... až do té doby, kdy nalezneme číslo dělící N. Pokud však žádné přirozené číslo x,  , nedělí N, pak je N prvočíslem. V tomto smyslu dává metoda opakovaného dělení vždy výsledek: buďto nalezne netriviální dělitel přirozeného čísla N, nebo poskytne důkaz, že N je prvočíslem. Je ale známo, že metoda opakovaného dělení je velice pomalá. Pro velká N není možné ji nechat v úplnosti proběhnout. Význam této metody pro faktorizaci velkých přirozených čísel je v tom, že ji lze užít jako první krok při faktorizaci, přičemž má odhalit malé prvočíselné faktory. (Lze vyslovit námitku, že efektivnost této metody by se zlepšila, kdybychom testovali jen dělitelnost prvočísly. To se ale opírá o fakt, že při školních výpočtech máme několik „malých“ prvočísel v paměti a stejně je tomu i při výpočtech počítačových). Závěr, že metoda opakovaného dělení je příliš pomalá, se nemění. Ještě horší je to, jak již víme, v obecném případě s efektivitou Fermatovy faktorizační metody.

Nepřekvapuje proto, že v posledních třiceti letech byly navrženy efektivnější faktorizační algoritmy. Patří mezi ně i faktorizační metoda, navržená J. M. Pollardem v r. 1975. Je vhodné se s touto metodou seznámit , je jednoduchá, elegantní a poskytne nám příležitost seznámit se s některými možnostmi grafických kalkulátorů. Snad tento text poskytne řadu návodů k experimentům, podnětů k napsání jednoduchých matematických programů atd.

Pollardova rho metoda má pravděpodobnostní charakter. Je v ní zapotřebí nalézt dvě pseudonáhodná čísla x_n, x_m, mající jistou vlastnost. Následující klasický příklad z teorie pravděpodobnosti dává naději, že na tato „vhodná“ čísla nebudeme čekat dlouho.

I. Příklad 1:

Sešla se skupina n osob, n je větší nebo rovno 2. Vypočtěte pravděpodobnost, že alespoň dva z nich budou mít narozeniny stejný den v roce. (Pro jednoduchost předpokládejme, že rok má 365 dní, tj. nebereme v úvahu přestupné roky).

Řešení:

Určeme pravděpodobnost komplementárního jevu A, že žádné dvě osoby z n zúčastněných nebudou mít narozeniny týž den v roce.

Spočtěme nejprve, kolik je všech možných případů pro data narození těchto n osob. Pro den narození první osoby je 365 možností, pro dvě osoby je tedy 365² možností, pro n osob 365ⁿ možností.

Vypočtěme dále, kolik z těchto případů je příznivých. První osoba se může narodit kterýkoli den v roce. Je-li ale již známo její datum narození a nemá -li druhá osoba mít narozeniny týž den, „zbývá“ pro její datum narození již jen 365 - 1 = 364 možností. Nemá-li datum narození žádných dvou osob z n zúčastněných připadnout na stejný den v roce, je 365.364. ... .(365 - n + 1) příznivých případů. Proto

     (1)     je pravděpodobnost jevu, že žádné dvě osoby z n zúčastněných nebudou mít narozeniny týž den v roce.

Jak si ale vypočítat a případě i znázornit hodnoty pravděpodobností P(A) z (1) pro různá n?

Bylo by jistě možné využít nějakého počítačového programu, ale příslušný software nebývá právě levný. Jak bylo řečeno výše, v posledních zhruba patnácti letech se zprvu v USA, pak v západní Evropě a nyní již i u nás rozšiřují tzv. grafické kalkulátory, které mají víceřádkový displej a umožňují „načrtnout“ grafy funkcí (posloupností). Tyto kalkulátory bývají programovatelné, nejlépe vybavené typy umožňují provádět i symbolické výpočty, resp. stáhnout si do kalkulátoru i programy z interenetu. Pro lepší představu o možnostech grafických kalkulátorů jsou dále zařazeny obrázky displeje kalkulátoru TI-83 Plus firmy Texas Instruments. Jednotlivé body znázorňují hodnoty posloupnosti (1) pro n = 1, 2, ..., 30.

Získány byly takto:

II. Grafické kalkulátory mívají k dispozici povel, kterým jsou generována tzv. pseudonáhodná celá čísla z intervalu . Vyzkoušejme povel, který by v závislosti na typu kalkulátoru mohl znít kupř. randInt(n, m) nebo nějak podobně. Kupř. na výše zmíněném kalkulátoru TI-83 Plus se po zadání randInt(1, 6) na displeji objeví jisté přirozené číslo k, pro které  čili kalkulačka vlastně simuluje házení kostkou s čísly 1, 2, ..., 6). Obdobně povel randInt(0, 1) poskytuje buď hodnotu 0 nebo 1 a tento výsledek lze interpretovat jako simulaci házení mincí, chápeme-li např. 0 jako líc, 1 - rub. Zmiňme se o metodách pro generování posloupností pseudonáhodných čísel.

Zřejmě nejvíce je využívána tzv. multiplikativní kongruenční metoda (multiplicative congruential method), pocházející od D. H. Lehmera (1948). Posloupnosti pseudonáhodných čísel se konstruují tak, že se

1. vypočítají po sobě jdoucí mocniny čísla 

2. získané mocniny se dělí nějakým modulem M, přičemž dostáváme zbytky, které (za určitých předpokladů) tvoří posloupnost pseudonáhodných čísel.

Pollardova rho metoda II

Příklad 2: Volme a = 4, M = 11.

1. Utvoříme posloupnost několika mocnin

1, 4, 16, 64, 256, 1024,4096, 16 384, ...

2. Nejmenší nezáporné zbytky při dělení těchto mocnin modulem M = 11 jsou

1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, ... .

Samozřejmým cílem studované metody je, aby pokud možno co nejvíce přirozených čísel menších než M bylo členy posloupnosti. Vidíme, že tento cíl se nám nepodařilo splnit a volba a = 4, M = 11 nebyla šťastná. Zvolme proto a = 2, M = 11.

1. Utvořme opět posloupnost několika mocnin

 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, ...

2. Nejmenší nezáporné zbytky při dělení těchto mocnin modulem M = 11 jsou

1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1, 2, ... .

Je jasné, že vytvořená posloupnost musí být periodická, avšak nyní se v získané posloupnosti předtím, než došlo k opakování, objevila všechna přirozená čísla z intervalu 1,10 . (Po sobě jdoucí čísla 1, 2, 4, 8 na začátku této posloupnosti ale nepůsobí „náhodně“).

Volme nyní a = 7, M = 11. Poznamenejme, že některé kalkulátory umožňují přímý výpočet posloupnosti nejmenších nezáporných zbytků při dělení čísel , modulem M. Kupř. na kalkulátorech TI-89 nebo TI-92 lze zadat

a opakovaně tisknout klávesu ENTER, čímž se realizuje povel zadaný ve druhém řádku. (V prvním kroku se pod hodnotou x uloží (Store) číslo 1, v dalších krocích je vždy počítán zbytek (remainder) při dělení čísla 7x číslem 11).

Tím získáme hledanou posloupnost zbytků 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, ... (viz obr. 4). Kalkulátory TI-83 nemají funkci remain (m, n) počítající nejmenší nezáporný zbytek při dělení přirozeného čísla m, číslem , mají však kupř. funkci iPart(z), vracející celou část čísla z, a protože na kalkulátorech této třídy lze vytvářet a ukládat programy, není nijak obtížné funkci remain(m, n) naprogramovat (což je užitečným cvičením).

Pokud se týče získané posloupnosti 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, ..., zdá se, že jsme byli úspěšní - získali jsme posloupnost obsahující všechna přirozená čísla z intervalu 1,10 a vypadající „náhodně“. Přistupme proto k zápisu Lehmerovy metody v obecném případě.

- zvolíme číslo M (modul),

- zvolíme násobitel 

Posloupnost   vytváříme takto:

X₁ je nejmenší nezáporný zbytek při dělení čísla A.X₀ číslem M; platí tedy X₁₌ A.X₀ (mod M),

X₂ je nejmenší nezáporný zbytek při dělení čísla A.X₁ číslem M; platí tedy X₂₌A.X₁ (mod M), ...,

X_n+1 je nejmenší nezáporný zbytek při dělení čísla A.X_n číslem M; platí tedy X_n+1 = A.X_n (mod M).

V příkladu 2 bylo vždy X₀ = 1, M = 11 a násobitel A byl 4, resp. 2, 7.

Jak se uvádí v [2], v praxi se užívá M = 2³¹  -  1, A = 7⁵ a firma IBM užívala podle údajů uvedených v této knize M = 2³¹ a A = 2¹⁶ + 3. Je také samozřejmé, že vygenerované posloupnosti musejí projít řadou statistických testů na náhodnost.

Poznamenejme, že právě popsaná metoda generování pseudonáhodných posloupností přirozených čísel není jediná. Zvolíme-li kupř. jisté přirozené číslo X₀ a modul M a položíme -li X_i+1 = X_i ² + 1 (mod M), i = 0, 1, ..., ukazuje zkušenost, že se často získá posloupnost pseudonáhodných čísel z intervalu  , která je pro užití v Pollardově rho metodě výhodnější než posloupnost generovaná lineární funkcí. Jak se uvádí v [1]: „The choice of this iteration function is black magic, but linear polynomials do not work, and higher degree polynomials are more costly to evaluate, and one cannot prove more about them than about x ² + 1.“

Nyní již můžeme přistoupit k formulaci Pollardovy rho metody. Nechť N je přirozené číslo, které chceme faktorizovat. Zvolme přirozené číslo x0 a vypočtěme jistý počet členů posloupnosti nezáporných celých čísel , definovaných následovně:

x_i+1 = x_i ² + 1 (mod N).

Předpokládejme, že prvočíslo p je nejmenším prvočíselným dělitelem čísla N. Dále předpokládejme, že  je posloupností pseudonáhodných čísel modulo p. Dále, nechť pro jisté dva členy x_n, x_m, n > m této posloupnosti platí, že x_n = x_m (mod p). (Příklad 1 nám dává naději, že na výskyt takovýchto členů posloupnosti  nebudeme muset čekat dlouho). Platí tedy , tedy největší společný dělitel D(x_n - x_m, N) > 1. Pokud zároveň  a nalezli jsme netriviální vlastní dělitel čísla N. Navíc je výhodné, že tento dělitel lze nalézt Eukleidovým algoritmem, což je, jak víme z druhé části kapitoly 1., velice efektivní metoda.

Krajně neuspokojivé by ale bylo, kdybychom vskutku museli počítat D(x_n - x_m, N) pro všechny dvojice  Objem výpočtů by narostl tak, že by to zcela znehodnotilo praktické využití navrhované metody. Naštěstí lze velkou část těchto propočtů ušetřit. Postačí totiž testovat jen dvojice , jak posléze ukážeme. Nyní zapišme nástin algoritmu pro Pollardovu rho - metodu:

Pollardova rho metoda III

Příklad 3: Rozložme číslo N = 221 pomocí Pollardovy rho - metody.

Příklad 4: Pomocí Pollardovy rho - metody rozložme číslo N = 989.

Příklad 5: Pomocí Pollardovy rho - metody rozložme číslo N = 4 004 747.

Příklad 6: Pomocí Pollardovy rho - metody rozložme číslo N = 63 797.

Cvičení: Dokažte platnost této věty:

Pro ty, kteří budou chtít naprogramovat kalkulátor podle shora uvedeného návodu, by samozřejmě byla užitečná informace, kolik asi členů posloupnosti  bude nutné vypočítat. Ukazuje se, že pokud N je složené přirozené číslo, p jeho prvočíselný dělitel, pak by měl postačovat výpočet D(x_2t - x_t , N) pro t = 1, 2, ...,  „téměř ve všech případech“ (zde [a] značí celou část čísla a a průběh výpočtu ovšem má nám již známý „pravděpodobnostní“ charakter).

Před třiceti lety byla Pollardova rho - metoda jednou z nejúčinnějších faktorizačních metod. V roce 1981 se např. Brentovi a Pollardovi zdařilo pomocí této metody rozložit osmé Fermatovo číslo  tedy v součin dvou prvočísel majících 16, resp. 62 cifer. Jak je patrné z následující tabulky, dnes již toto postavení ztratila a byla překonána několika efektivnějšími, ovšem i komplikovanějšími metodami. Pro školskou matematiku však má Pollardova rho -  metoda mnohé přednosti - je jednoduchá a přináší mnoho podnětů k samostatné práci žáků, příležitosti k seznámení se s grafickými kalkulátory, resp. se základy programování.

Z knihy [1] je převzata tabulka popisující dobu běhu některých algoritmů užívaných pro faktorizaci přirozeného čísla N délky n na jeho prvočíselné faktory. Doba běhu Lenstrova algoritmu ve skutečnosti nezávisí na n, ale (hlavně) na délce druhého největšího prvočíselného faktoru čísla N. Některé z časových analýz jsou pouze heuristické, ne rigorózně dokázané. Poznamenejme, že velikost vstupu je 

Literatura:

[1] von zur Gathen, J, Gerhard, J.: Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, 1999.

[2] Childs, L. N.: A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer, New York, 1979.

[3] Pomerance, C.: Vyprávění o dvou sítech. PMFA, 43 (1998), 9 - 29.

[4] Riesel, H.: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2. vydání, Birkhäuser, 1994.

Seznámili jsme se s moderní faktorizační metodou, ale její idea je dostupná i studentu SŠ se zájmem o matematiku.

Informace ke stažení ve formátu pdf zde.

Matematické rébusy

Jak jsme popsali v článku Možnosti a typy popularizace matematiky, významným motivačním činitelem v získání zájmu o studium matematiky může být tzv. rekreační matematika. Ta nabízí celou řadu zábavných početních úkolů a logických rébusů, přičemž právě rébusů je dosti velké množství. Podívejme se na několik z nich a naznačme způsoby jejich řešení.

Úkol 1: Řešte sudoku.

Zadání sudoku (zdroj: Sudoku Zdarma)

K řešení: Sudoku patří mezi nejznámější matematické rébusy známé téměř v celém světě. Řešitel má zadanou čtvercovou síť 9x9 políček s devíti zvýrazněnými čtverci o délce hrany 3 políčka. V některých z políček jsou již zadána konkrétní čísla od 1 do 9 a řešitelovým úkolem je doplnit do zbývajících prázdných polí čísla tak, aby byla dodržena následující pravidla:

• v každém sloupečku velkého čtverce o hraně 9 políček se vyskytuje každé z čísel 1 až 9 právě jednou,
• v každém řádku velkého čtverce o hraně 9 políček se vyskytuje každé z čísel 1 až 9 právě jednou,
• v každém malém čtverci o hraně 3 políčka se vyskytuje každé z čísel 1 až 9 právě jednou.

Zadání klasických sudoku (i některých jeho dalších variant) je možné najít ve specializovaných knihách či na vybraných webových stránkách nepřeberné množství. Stejně tak existuje velké množství aplikací pro chytré telefony a tablety, které dokážou generovat vlastní originální zadání. Spolu s tím jsou dostupné i on-line nástroje na jejich strojové řešení, které je v případě sudoku relativně jednoduché.

Úkol 2: Řešte kakuro.

Zadání kakura (zdroj: Kakuro Conquest)

K řešení: Kakuro je logický matematický rébus, který na první pohled připomíná křížovku. Na rozdíl od ní se však do jednotlivých políček nevyplňují písmenka, ale čísla, která mohou nabývat hodnot 1 až 9, přičemž jejich součet musí odpovídat číslu vyskytujícímu se v záhlaví části sloupce či řádku, v němž se nalézají. Podobně jako v sudoku platí, že v každé samostatné části sloupce či řádku se žádné z již použitých čísel nesmí opakovat. Rozdíl na druhou stranu spočívá v tom, že hrací síť nemá pevně daný tvar a může být teoreticky libovolně velká.

Úkol 3: Řešte fillomino.

Fillomino se zadanými čísly a s částí vyznačených hranic mezi polyominy (zdroj: Fillomino: Play fillomino online)

K řešení: Třetím zmíněným rébusem je fillomino, které stejně jako kakuro nemá pevně danou velikost ani tvar hrací sítě (tvar však obyčejně bývá obdélníkový). V některých polích jsou již dána čísla, která mohou nabývat hodnot od 1 výše (horní mez v podstatě není pevně daná a v teoretickém případě nekonečně velké hrací sítě by mohla být také nekonečně velká), ostatní pole jsou prázdná. Cílem hry je rozdělit tuto síť do polyomin (monomino zahrnuje 1 políčko, domino zahrnuje 2 sousední políčka, triomino 3 sousední políčka,...) a vyznačit jejich ohraničení tak, že každé z již zadaných čísel n bude ležet na polyominu sestávajícím z n políček. Jediné pravidlo při řešení spočívá v tom, že žádná dvě stejná polyomina spolu nesmí sousedit a dotýkat se smí maximálně rohy.

Multimédia k badatelské aktivitě

Na internetu i v knihách lze dohledat velké množství nejrůznějších zadání zmíněných matematických rébusů. Uveďme zde několik odkazů na webové stránky týkající se sudoku, kakura a fillomina.

Sudoku:

• Sudoku Online
• Sudoku Zdarma

Kakuro:

• Kakuro Online
• Kakuro Conquest

Fillomino:

• Fillomino puzzles
• BrainBashes: Daily Fillomino
• Fillomino Online (Logical Thinking Puzzle Game)