Náměty aktivit pro popularizaci matematiky

Řešení slovních úloh o pohybu pomocí softwaru dynamické geometrie

Řešení slovních úloh o pohybu pomocí softwaru dynamické geometrie

Slovní úlohy o pohybu náleží spolu s úlohami o směsích a o společné práci do výuky matematiky základních a středních škol. Při jejich řešení se zpravidla pro lepší orientaci používá nějaký náčrtek ilustrující zadanou situaci, samotné zjištění výsledku je však obyčejně provedeno výpočtem. Grafická metoda řešení by ale neměla být opomíjena, zvláště v případě některých úloh je možné ji vcelku vhodně využít. K tomu je však nutné využít některý z nástrojů dynamické geometrie, kupříkladu program GeoGebra (pro nekomerční užití zdarma dostupná na stránce http://www.geogebra.org), v níž uživatel může nejen konstruovat geometrické objekty, pracovat s geometrickými zobrazeními či například vyšetřovat průběhy funkcí, ale využívat ji i způsoby, které u dalších programů dynamické geometrie nejsou možné. Uživatel tak může vytvořit názorný interaktivní náčrt zadané situace a zkoumat změny, které nastanou při změně vstupních parametrů.

Příklad: Rozhodněte, zda mohou tři cestující stihnout vlak, který odjíždí za 75 minut ze stanice vzdálené 40 kilometrů, dokáže-li každý z nich běžet rychlostí 10 km/h a mají-li k dispozici dvoumístný motocykl, který může jet rychlostí 80 km/h. V případě, že vlak mohou stihnout, jak mají postupovat?

Řešení: Je zřejmé, že pokud má být úloha řešitelná, bude nejvhodnější zvolit následující způsob dopravy. Označme cestující A, B a C. Cestující A a B usednou na motocykl a vyrazí k nádraží rychlostí 80 km/h, zatímco cestující C běží k nádraží rychlostí 10 km/h. V určité vzdálenosti před nádražím sesedne cestující B z motocyklu a pokračuje dále v cestě rychlostí 10 km/h, zatímco cestující A se vrací pro cestujícího C. Toho naloží a následně rychlostí 80 km/h dojedou zbytek cesty k nádraží. Jak tato situace vypadá v grafickém znázornění, je vidět na obrázku.

Grafické znázornění situace (obrázek vlastní tvorby)

Modré úsečky znázorňují jízdu cestujícího A se spolujezdcem, fialová úsečka je cesta cestujícího A vracejícího se pro cestujícího B a zelené úsečky odpovídají pěší dopravě cestujících B a C. Z grafiky lze též vyčíst, že v tomto konkrétním případě vysadil cestující A cestujícího B 4 kilometry před nádražím, vyrazil naproti cestujícímu C, s nímž se setkal 8 kilometrů od startovní pozice a následně se oba bezpečně dostali do 40 kilometrů vzdáleného nádraží 72 minut po vyjetí. Vysazený cestující B mezitím doběhl na nádraží dokonce 51 minut od začátku měření. Všichni tři v tomto případě vlak bez problémů stihli.

Interaktivní figura odpovídající zadání příkladu je k nalezení v sekci Multimédia k badatelské aktivitě. Lze v ní pohybovat posuvníkem s názvem vysazení, čímž je měněna vzdálenost, v níž je z motocyklu vysazen cestující B. Experimentováním pak lze nalézt množinu přípustných řešení včetně extrémních případů, kdy motocykl s cestujícími A a C nebo vysazený cestující B dorazí na nádraží na poslední chvíli, případně lze zkoumat i situace, kdy se některý z cestujících opozdí a vlak nestihne.

Pro úplnost uveďme, že oněmi extrémními případy jsou vysazení cestujícího B 8 kilometrů před nádražím, v takovém případě dorazí A s C na nádraží v 68. minutě a cestující B 3 minuty před odjezdem vlaku, a vysazení B 2 kilometry před nádražím, v takové situaci doběhne B do cíle ve 41. minutě a A s C přijedou na motocyklu v 75. minutě, nicméně vlak by ještě stihnout měli. Pokud je cestující B vysazen kdekoliv v tomto rozmezí (8-2 kilometry od nádraží), všichni tři vlak stihnou, je-li cestující B vysazen dříve, vlak nestihne, je-li naopak vysazen později, nedorazí na nádraží včas cestující A a C.

Dodejme ještě, že při zjemnění hodnot dosažitělných posuvníkem (je nastaven na celé kilometry, je však možné nastavit citlivost na desetiny nebo setiny kilometrů) dojde ke zpřesnění výše uvedených hodnot.

Obdobnými způsoby lze samozřejmě řešit i další slovní úlohy o pohybu, pro ilustraci uvádíme některá další zadání podobných příkladů:

Příklad: Za vozidlem s nadměrným nákladem pohybujícím se rychlostí 16km/h vyrazilo za 2,5 hodiny doprovodné vozidlo, které je musí dostihnout nejpozději do 45 minut. Jakou musí (resp. může) jet rychlostí?

Příklad: Železniční trať z Prahy do Olomouce je dlouhá 250 kilometrů. V 6:00 vyjel z Prahy do Olomouce rychlík rychlostí 85 km/h, o čtvrt hodiny později vyrazil opačným směrem z Olomouce do Prahy osobní vlak rychlostí 65 km/h. V kolik hodin a jak daleko od Prahy se oba vlaky potkají?

Příklad: Z města A do města B vzdáleného 60 kilometrů vyrazili tři kamarádi. K dispozici měli dvojmístný motocykl, který jel rychlostí 60 km/h. Pěšky šel každý z nich rychlostí 5 km/h. Kamarádi se rozhodli pro následující způsob přepravy: Dva z nich vyrazí k městu B na motocyklu, třetí půjde pěšky. Několik kilometrů před městem B řidič motocyklu vysadí spolujezdce, který bude do města B pokračovat sám pěšky, a vrátí se k městu A pro třetího kamaráda, kterého pak na motocyklu doveze až do města B. Všichni tři dorazí do města B najednou. Kde má řidič prvního spolujezdce vysadit? Za jak dlouho všichni dorazí do města B?

Příklad: Města K, L a M leží za sebou na téže silnici, vzdálenost K od L je 14 km. Ve 13 hodin vyjel z L směrem k M cyklista rychlostí 12 km/h, nato ve 14 hodin 10 minut vyjelo z K rovněž směrem k M osobní auto rychlostí 68 km/h. Konečně ve 14 hodin 20 minut vyjelo z M směrem k L nákladní auto rychlostí 45 km/h. Všichni tři se na silnici setkali ve stejném okamžiku. Kdy došlo k setkání a v jaké vzdálenosti od L to bylo?

Příklad: V 9 hodin vyjel z Plzně cyklista směrem na Tábor rychlostí 20 km/h. O hodinu později za ním vyrazil jezdec na mopedu a o další hodinu později osobní automobil, který jel dvojnásobnou rychlostí než mopedista. Automobil pak dojel moped v té samé chvíli, kdy míjel cyklistu. Určete, v kolik hodin a jak daleko od Plzně k tomu došlo.

Metodický list pro badatelskou aktivitu

Do tabulky níže rozpracujte jeden zcela konkrétní námět aktivity.

Multimédia k badatelské aktivitě

Interaktivní geometrická figura k příkladu slovní úlohy o pohybu je ke stažení zde. K jejímu spuštění je nutné mít nainstalovanou a aktualizovanou Javu a program GeoGebra.

Ve figuře lze pohybovat posuvníkem a měnit tak vzdálenost od nádraží, ve které má být vysazen cestující B. V závislosti na tom lze experimentálně ověřit, v jakých případech všichni tři cestující vlak stihnou a v jakých ne.Grafické zobrazení je doplněné dynamickým textem s komentářem informujícím uživatele o místě vysazení a době, kterou A, B a C potřebují k cestě do cíle.

Chci, aby mi bylo ... let aneb čísla v různých číselných soustavách (do 45 min)

Přirozená nespokojenost člověka se vším, co právě je a touha po tom, co právě není, zahrnuje mnohdy i nespokojenost s věkem, který je mu spravedlivě a nekompromisně měřen rotacemi Země.
Předvedeme malý trik, jak iluzorně nabýt takového věku, s nímž bychom aspoň nějaký čas byli spokojeni.

1. Motivace problému, jak se učinit starším
Pusťte si video 

Dejme tomu, že se ocitneš v roli 13leté slečny Barbory prahnoucí po Štefanovi, který už dosáhl plnoletosti, a chceš být „o pár let starší“, resp. být aspoň plnoletá. Jak to zařídit?

Trik bude spočívat v tom, že potřebujeme, aby číslo 13 „vypadalo“ jako číslo 18 nebo o trochu větší.

V našich i vzdálenějších končinách jsou lidé do života povětšinou vybaveni celkem 10 prstíky na obou rukách a dalšími 10 prstíky na nohách. Proto se nám jeví jako zcela samozřejmý a přirozený takový postup zápisu počtu čehokoli, v němž předměty napočítáme na prstech obou rukou a je-li jich víc, rozdělíme je do skupin po deseti. Zapíšeme počet skupin a následně případně připíšeme počet zbylých předmětů, které nezvládly vytvořit desetičlennou skupinu. Například počet let 13leté slečny zhmotněný třeba svíčkami na jejím narozeninovém dortu lze rozdělit na jednu skupinu s deseti svíčkami a zbylé tři svíčky, proto píšeme 13, ale jde vlastně o zkrácený zápis 1.10 + 3 (jedenkrát obě ruce a tři prsty).

Aby bylo možno slečnu aspoň imaginárně postaršit, museli bychom jejích 13 svíček rozdělovat do skupin o menším počtu než 10. Zkusme svíčky rozdělovat např. do skupin po 8. V tom případě máme jednu osmičlennou skupinu a pět zbylých svíček, tj. 1.8 + 5. Mimozemšťan nebo pohádková bytost z kreslených seriálů, které se z estetických důvodů vejdou na ruku často jen čtyři prsty, by tedy mohla psát, že slečně je právě 15 let (jedenkrát obě čtyřprsté ruce a pět prstů).

Slečna je aspoň zápisem o dva roky starší, ale plnoletá ještě není.

♦ Do jak početných skupin bude potřeba rozdělovat Barbořiny dortové svíčky, aby se plnoletou stala?
-> Zkusíme-li rozdělovat svíčky po 7, bude Barboře 1.7 + 6 let, což by se dalo zapsat číslem 16.
-> Teprve při volbě počítání po šestičlenných skupinách, dosáhne Barbora plnoletosti, neboť 2.6 + 1 lze šikovně zapsat jako 21.

♦ Zkus se postaršit podle Barbořina vzoru. Jaký počet ve skupině budeš volit? Menší než 10 nebo větší než 10?
-> Menší než 10.

♦ Při jakém počtu svíček ve skupině jsi nejstarší? Jaký je Tvůj nejvyšší věk?
-> Nejvyššího věku se dosahne, když skupinu bude tvořit co nejmenší počet předmětů, který je však větší než 1. Proto je člověk "nejstarší", bude-li počet jeho svíček rozdělován do skupin po dvou.

2. Trocha matematiky – dohoda o zápisu čísel a některé pojmy
Všimněme si, že Barbora je stále stejně stará. Jen jsme číslo 13 jednou vyjádřili jako 1.10 + 3, pak jako 1.8 + 5, následně součtem 1.7 + 6 a nakonec jako 2.6 + 1. Pak jsme tyto rozvinuté zápisy zkrátili na za zápisy 13, 15, 16, 21. Byl by to z naší strany podvod, kdybychom v posledních třech případech nepřiznali, že počítáme jinak než po desetičlenných skupinách. Aby nedocházelo k nedorozuměním, budeme k číslu připisovat dolní index vyjadřující počet předmětů, které tvoří skupinu, např. 13₁₀, 15₈, 16₇, 21₆. Čísla v dolních indexech 10, 8, 7, 6 jsou tzv. základy číselných soustav. Běžně počítáme v číselné soustavě se základem deset (v tzv. desítkové soustavě nebo též dekadické soustavě), číslo 15₈ je zápisem čísla 13₁₀ v soustavě se základem osm (v tzv. osmičkové soustavě neboli oktalové soustavě), výrazem 16₇ je zapsáno číslo 13₁₀ v soustavě se základem sedm (tj. v tzv. sedmičkové či septilové soustavě), konečně 21₆ představuje číslo 13₁₀ v soustavě se základem šest (v tzv. šestkové či sextilové soustavě). Můžeme psát  13₁₀ = 15₈ = 16₇ = 21₆. Součet 1.10 + 3 je rozvinutý zápis čísla 13₁₀ v desítkové soustavě, součet 1.8 + 5 je rozvinutý zápis téhož čísla v osmičkové soustavě apod. pro 1.7 + 6 a 2.6 + 1.
Barboru i sebe jsi tedy postaršil díky změně základu číselné soustavy.

3. Jak se učinit mladším
Pusťte si video

Ač se Tě to ještě netýká, dříve či později dospěješ k tomu, že by bylo lepší být „o pár let mladší“.

♦ Uměl bys pomoci zpěvákovi skupiny Beatles v omlazení, až mu bude oněch 64 let?
-> Věk vylepším změnou číselné soustavy.

♦  Jaký základ číselné soustavy zvolíš, aby v něm číslo 64 bylo „menší“? Menší než 10 nebo větší než 10?
-> Větší než 10.

♦ Jaký věk mu můžeš nabídnout, chce-li zůstat plnoletý?
-> V soustavě se základem 11 je 64₁₀ = 5.11 + 9 = 59₁₁.
-> V soustavě se základem 12 je 64₁₀ = 5.12 + 4 = 54₁₂.
-> V soustavě se základem 13 je 64₁₀ = 4.13 + 12 = 4,12₁₃.
-> V soustavě se základem 14 je 64₁₀ = 4.14 + 8 = 48₁₄.
-> V soustavě se základem 15 je 64₁₀ = 4.15 + 4 = 44₁₅.
-> V soustavě se základem 16 je 64₁₀ = 4.16 + 0 = 40₁₆.
-> V soustavě se základem 17 je 64₁₀ = 3.17 + 13 = 3,13₁₇.
-> V soustavě se základem 18 je 64₁₀ = 3.18 + 10 = 3,10₁₈.
-> V soustavě se základem 19 je 64₁₀ = 3.19 + 7 = 37₁₉.
-> V soustavě se základem 20 je 64₁₀ = 3.20 + 4 = 34₂₀.
-> V soustavě se základem 21 je 64₁₀ = 3.21 + 1 = 31₂₁.
-> V soustavě se základem 22 je 64₁₀ = 2.22 + 20 = 2,20₂₂.
-> V soustavě se základem 23 je 64₁₀ = 2.23 + 18 = 2,18₂₃.
-> V soustavě se základem 24 je 64₁₀ = 2.24 + 16 = 2,16₂₄.
-> V soustavě se základem 25 je 64₁₀ = 2.25 + 14 = 2,14₂₅.
-> V soustavě se základem 26 je 64₁₀ = 2.26 + 12 = 2,12₂₆.
-> V soustavě se základem 27 je 64₁₀ = 2.27 + 10 = 2,10₂₇.
-> V soustavě se základem 28 je 64₁₀ = 2.28 + 8 = 28₂₈.
-> V soustavě se základem 29 je 64₁₀ = 2.29 + 6 = 26₂₉.
-> V soustavě se základem 30 je 64₁₀ = 2.30 + 4 = 24₃₀.
-> V soustavě se základem 31 je 64₁₀ = 2.31 + 2 = 22₃₁.
-> V soustavě se základem 32 je 64₁₀ = 2.32 + 0 = 20₃₂.
-> V soustavě se základem 33 je 64₁₀ = 1.33 + 31 = 1,31₃₃.

♦ Našel jsi nějaké nesmyslné zápisy? Které to jsou?
-> 64₁₀ = 4,12₁₃ = 3,13₁₇ = 3,10₁₈ = 2,20₂₂ = 2,18₂₃ = 2,16₂₄ =  2,14₂₅ = 2,12₂₆ = 2,10₂₇.

♦ Proč vyšly nesmyslné zápisy? Kolik cifer je třeba pro zápis čísla v číselné soustavě se základem n? Zamysli se nad používanými znaky v příslušné číselné soustavě.
-> V desítkové soustavě máme deset cifer (0, 1, 2, ..., 9), v soustavách se základem menším než 10, tj. v soustavách, v nichž postaršujeme, máme méně cifer než 10. Např. v pětkové soustavě je pět cifer (0, 1, 2, 3, 4). Pokud však "omlazujeme", má číselná soustava základ větší než deset, a proto je v ní i více než deset cifer. Například v šestnáctkové (hexadecimální) soustavě je pro zápis čísla nutných 16 cifer, obvykle se používá 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F místo cifer 0, 1, ..., 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, aby znak pro každou cifru obsadil pouze jednu pozici. V číselné soustavě se základem n je potřeba n cifer. Zápisům, v nichž by na pozici jednotek bylo dvojciferné číslo nebo nějaký dohodnutý znak, by většina lidí nerozuměla a vnímala by je jako nesmyslné. Například číslo 4,12, případně 4C (při dohodnutých cifrách 0, 1, 2, ..., A, B, C), zapsané v třináctkové soustavě by nebylo chápáno jako číslo vyjadřující věk.

♦ Jaký nejmenší věk může být při "omlazování" dosažen?
-> "Omlazování" provádíme volbou základu většího než je číslo 10. Vždy lze zvolit základ, který je roven věku omlazovaného. Např. můžeme zvolit základ 64 pro omlazování 64letého člověka. Pak je 64₁₀ = 1.64 + 0 = 10₆₄ . Volba většího základu vede k nesmyslnému zápisu. Soudíme proto, že nejmenším dosažitelným věkem je 10 let při základu rovném věku před omlazením.

♦ Jak starého člověka nelze omladit? Jak starého člověka nelze postaršit?
-> Z předchozího víme, že člověku starému n let umíme přiřadit věk 10 let. Zkusme proto "omladit" desetiletého žáka. Pro omlazení potřebujeme číselnou soustavu se základem větším než 10, např. 11. Ale v jedenáctkové soustavě je 10₁₀ = 0.11 + 10 = 0,10₁₁ a stejně nesmyslný zápis se získá pro vyšší základy. Z podobných důvodů nelze "snížit" věk dětí mladších deseti let.

♦ Jak starého člověka nelze postaršit?
-> "Postaršení" se provádí volbou číselné soustavy se základem menším než 10. Takovou soustavu lze vybrat pro každé číslo, proto "postaršit" lze vždy nezávisle na věku.

♦ Volbou vhodné číselné soustavy zajisti členům Tvé rodiny takový věk, s nímž by byli spokojeni.
-> Výsledky můžeš zkontrolovat v pdf-tabulce nebo zde.

Doporučený multimediální materiál

Ilustrativní fotografie k popisu aktivity.

Videoukázka k popisu aktivity.

Odkazy do internetu k pracovním listům, prezentacím, videím, animacím, apletům nebo jiným dostupným materiálům.

Ukázky práce žáků - výstupy činností - fotografie, záznamy měření, slovní popis a hodnocení aktivit ze strany žáků apod.

Metodický list pro badatelskou aktivitu 2

Do tabulky níže rozpracujte jeden zcela konkrétní námět aktivity.

Historie a popis metody Monte-Carlo

V této části si uvedeme některé zajímavé informace o tom, jak metoda vznikla a k jakým účelům byla využívána.

Historicky prvním příkladem použití principu metody Monte Carlo je tzv. Buffonova úloha, jež je úlohou vztahující se ke geometrické pravděpodobnosti: V rovině jsou narýsovány rovnoběžky, jejichž vzájemná vzdálenost je rovna L. Zajímá nás pravděpodobnost, že náhodně vržená jehla o délce l < L protne některou přímku. Uvažujme, že rovnoběžky jsou rovnoběžné s osou x. Označme d vzdálenost středu jehly od nejbližší rovnoběžky a α úhel, který svírá jehla s danou rovnoběžkou (viz obrázek). Poloha jehly je tedy určena bodem o souřadnicích [d; α], kde 

Z obrázku je zřejmé, že jehla protne příslušnou rovnoběžku, pokud bude platit: 

Hozením jehly mohou nastat dva případy:

– Jehla protne příslušnou rovnoběžku – úspěch.

– Jehla neprotne příslušnou rovnoběžku – neúspěch.

Oblast příznivých výsledků vymezená nerovností 

Pravděpodobnost toho, že jehla protne rovnoběžku, stanovíme podle geometrické definice pravděpodobnosti:

Tuto pravděpodobnost můžeme odhadnout na základě znalosti Bernoulliho věty, která nám říká, že relativní četnost nějakého jevu stochasticky konverguje k jeho pravděpodobnosti, můžeme tedy pro odhad pravděpodobnosti psát:

kde m značí počet úspěšných pokusů (jehla protnula rovnoběžku) a n značí počet všech realizovaných pokusů. Můžeme tedy psát:

z čehož úpravami získáme:

Realizujeme-li dostatečný počet pokusů, lze výše uvedený vztah využít k experimentálnímu stanovení hodnoty Ludolfova čísla π.

Samotná metoda Monte Carlo byla formulována a prakticky použita J. von Neumannem a S. Ulamem při vývoji atomové bomby b ěhem 2. sv ětové války. Při výzkumu chování neutron ů bylo třeba vyřešit problém, jaké procento neutron ů v určité spršce pronikne n ějakou překážkou, např.. nádrží vody určitých rozm ěrů. Při řešení tohoto problému předpov ědi života neutronu byla použita technika kola rulety, odtud plyne i název metody. Např.. je známo, že při srážce neutronu a atomu vodíku je neutron pohlcen prů m ěrn ě v jednom ze sta případů. Při stanovení toho, zda bude neutron pohlcen či nikoliv, je možno použít kolo rulety rozd ělené na 100 dílků, přičemž 1 ozna čený dílek bude znamenat pohlcení neutronu. V případ ě, že nedojde k zániku neutronu, se pomocí dalšího kola rulety náhodn ě stanoví trajektorie neutronu do další srážky. Takto se postupuje do té doby, než dojde k zániku neutronu nebo k jeho průchodu překážkou. Je zřejmé, že realizovat tento experiment pomocí skute čných kol rulet by bylo prakticky nerealizovatelné. V té dob ě byl však již k dispozici po číta č, pomocí kterého bylo možno tento experiment realizovat. Metoda Monte Carlo je numerickou metodou založenou na vztahu mezi pravd ěpodobnostními charakteristikami různých náhodných procesů a veličinami, které jsou řešením studovaných úloh.

Princip metody tedy spočívá v následujících bodech:

1) Formulace nové úlohy mající náhodný charakter, jejíž řešení se shoduje s řešením původní úlohy.

2) Řešení nové úlohy pomocí statistických experimentů.

Metodu Monte Carlo lze použít např.. při řešení určitých integrálů (zejména vícerozměrných) nebo při řešení soustav rovnic.

Existují dva možné přístupy při řešení úloh metodou Monte Carlo:

1) Geometrická metoda založená na geometrické pravděpodobnosti.

2) Výpočet založený na odhadu střední hodnoty náhodné proměnné.

ad 1) S geometrický přístupem jsme se již setkali v rámci Buffonovy úlohy. Nyní si na dvou jednoduchých příkladech ukážeme, jakým jiným způsobem lze experimentálně stanovit hodnotu π a jak lze řešit jednoduchý určitý integrál. Při řešení využijeme generátor pseudonáhodných čísel software Microsoft Excel (funkce NÁHČÍSLO).

Příklad

Je dán jednotkový čtverec, ve kterém je vepsána kruhová výseč (viz obrázek). Geometrickým přístupem experimentálně stanovte hodnotu Ludolfova čísla π.

Definujme jev A – náhodně vybraný bod jednotkového čtverce leží v kruhové výseči.

Je zřejmé, že na základě geometrické pravděpodobnosti můžeme pro pravděpodobnost jevu A psát:

Nyní je třeba provést sérii náhodných pokusů – výběr náhodného bodu X z jednotkového čtverce. Bod X je určen dvěma nezávislými rovnoměrně rozdělenými souřadnicemi x a y, kde 0 ≤ x ≤ 1 a 0 ≤ y ≤ 1. Konkrétní realizace souřadnic x a y lze získat v Excelu pomocí funkce NÁHČÍSLO, jež generuje rovnoměrně rozdělená náhodná čísla z intervalu ‹0; 1).

Máme-li vygenerovány dvojice souřadnic x a y, můžeme přistoupit k rozhodnutí, zda nastal úspěch (bod leží v kruhové výseči) či neúspěch. Je zřejmé, že pro vzdálenost d bodu X [x; y] od počátku souřadnicového systému platí:

Úspěch tedy nastane tehdy, bude-li pro i-tý bod platit:

neboť poloměr výseče je roven 1.

Nastane-li v n pokusech m úspěchů, kde m ≤ n, můžeme pro pravděpodobnost jevu A psát:

Dostáváme tedy:

Je třeba ovšem pamatovat na to, že ve všech případech se jedná o bodový odhad hodnoty π. Seznámili jsme se se základními principy metody Monte Carlo, nyní nás bude zajímat, jaká je přesnost odhadu metodou Monte Carlo. Uvažujme přístup založený na geometrické pravděpodobnosti. Při tomto přístupu realizujeme náhodný pokus, při kterém může nastat buď úspěch, nebo neúspěch. Jedná se tedy o Bernoulliho pokusy (nezávislé pokusy mající pouze dva možné výsledky – úspěch a neúspěch, pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je konstantní), kdy neznáme pravděpodobnost úspěchu, ale chceme ji na základě experimentu stanovit. Zaveďme proměnnou δi, která v případě úspěchu nabude hodnoty 1 a v případě neúspěchu hodnoty 0.

Definujme proměnnou M:

kde n je počet realizovaných pokusů. Proměnná M se řídí binomickým rozdělením; pro pravděpodobnost, že v n pokusech nastane právě m úspěchů, platí:

kde 0 < p < 1 je pravděpodobnost úspěchu.

Pro střední hodnotu a rozptyl binomické náhodné proměnné platí:

Uvažujeme nyní proměnnou . Z vlastností střední hodnoty a rozptylu plyne:

Při dalším odvozování použijeme Čebyševovu nerovnost: Nechť X je náhodná proměnná s libovolným, obecně neznámým rozdělením, s konečnou střední hodnotou EX a rozptylem DX. Potom pro libovolně malé ε > 0 platí:

Položme a dosaďme do Čebyševovy nerovnosti odvozené vztahy pro 

Tato nerovnost je nazývána Bernoulliho nerovnost.

Bernoulliho nerovnost můžeme zjednodušit na základě skutečnosti, že:

potom dostaneme:

Informace ke stažení ve formátu pdf zde.

Příklady na využití metody Monte-Carlo

Zde si uvedeme dva příklady využití metody. první je návod jak zjistit obsah plochy trojúhelníku pomocí dané metody:

Dále uvedeme výpis ze souboru programu Mathematica -

Podobně bychom mohli zjisti obsah například osmiúhelníku:

Oba experimenty je možno také provádět pomocí programu excel a jeho generátoru náhodných čísel - funkce náhčíslo() nebo pomocí modifikovaných hodů kostkami.

Pexeso s převody jednotek

Pexeso nemusí být jen zábavná kratochvíle, lze jej (ostatně jako i další karetní hry s mírně pozměněnými pravidly a hracími kartami) využít i k výuce. V tomto konkrétním případě se podívejme, jak ho můžeme použít k procvičování převodů jednotek.

Zachováme tradiční způsob hry, kdy jsou na hrací ploše vyloženy kartičky lícem dolů a jednotliví hráči je postupně otáčí a hledají ty, které k sobě patří. Rozdíl je v tom, že kartičky na sobě nemají obrázky ale nějaké (nejlépe zajímavé) údaje o délkách, plochách, objemech, hmotnostech,... Nemusíme se též omezovat jen na páry kartiček, pexeso můžeme ztížit tím, že k sobě patřící karty se budou vyskytovat ve trojicích či čtveřicích a k jejich získání je zapotřebí na jeden pokus správně otočit všechny z nich.

Mezi zmíněné údaje pak můžeme zahrnout například informace, jak jsou uvedeny v následující tabulce hracích karet: