Matematický model složeného úročení

Námět aktivity pro kroužek - matematický model složeného úročení

V tomto námětu pokračují studenti či žáci, kteří absolvovali předchozí aktivitu týkající se jednoduchého úročení. V rámci této aktivity musí studenti či žáci odvodit mnohem složitější algoritmus složeného úročení a zároveň pomocí něho vytvořit matematický model. Tento model mnohem lépe popisuje konkrétní situace v životě, protože téměř veškeré úročení ve finančním a bankovním sektoru se provádí pomocí složeného úročení.

V této části se budeme zabývat nejen tvorbou modelu, ale budeme zároveň i řešit konkrétní situace úročení.

Na závěr je podobně jako v případě aktivity jednoduchého úročení připravena hra na odhad různých parametrů algoritmu složeného úročení.

Níže následují ukázky:

1. Žákovského listu a jednotlivých her

2. Grafického výstupu

Na závěr jsou ukázány další dvě aktivity: splácení půjčky a naopak pravidelné ukládání při složeném úročení.

Tvorba matematického modelu složeného úročení

V této části se žáci pokusí odvodit algoritmus složeného úročení (je nutné znát pojem exponenciální funkce, v případě neznalosti musí tento pojem vysvětlit vedoucí kroužku). V první řadě je nutno si uvědomit, že všechny úroky se započítávají do částky, která se bude znova úročit (to právě vede k exponenciální funkci).

Model složeného úročení je lépe odvozovat postupně tak, že se bude počítat konkrétní příklad pro několik za sebou jdoucích období.

Je vhodné uvést i příklady použití tohoto typu úročení:

1) Výpočet dlužných částek

2) Výpočet hypoték

3) Výpočet půjček

4) Klasické úročení v bance

Základní popis a řešení této aktivity je uvedeno v tomto souboru.

......

Metodický list pro badatelskou aktivitu - složené úročení

Metodický list pro aktivitu - složené úročení

Multimédia pro badatelskou aktivitu 1 - složené úročení

V této části uvedeme několik ilustrativních fotografií, grafů a odkazů na videa, které se týkají daného tématu této aktivity.

Složené úročení a jeho užití

Složené úročení - úvod

Základy složeného úročení

Porovnání typů úročení

Různé typy výnosnosti

Badatelská aktivita 2 - složené úročení spoření

V této části se budeme věnovat jistému zobecnění složeného úročení. Budeme se věnovat praktické otázce pravidelného spoření na spořícím účtě. Využijeme znalostí z první aktivity, zároveň ale budeme muset odvodit algoritmus změn hodnot na účtě. Takovýto výpočet nebude úplně jednoduchý. Samozřejmě budeme pracovat v českém prostředí, které je z hlediska ukládání účtů polhůtní - tedy úroky se ukládají až po uplynutí doby úročení.

Celá aktivita je popsána v tomto souboru, v němž jsou, jak je už tradiční, i připravené hry  spojené s touto aktivitou. Ty jsou ale podobně jako látka této části opravdu náročnější.

Metodický list pro badatelskou aktivitu 2 - složené úročení - spoření

Multimédia pro badatelskou aktivitu 2 - složené úročení - spoření

Podobně jako v předchozích částech uvedeme dále ilustrativní fotografie a grafy a několik videí.

Pravidelné úložky - graf

Kalkulačka úroků

Spořící účty

Spořící účty - vklady

Badatelská aktivita 3 - pravidelné splátky dluhu

V této aktivitě budeme pokračovat v zobecňování používání složeného úročení. Jde o praktickou úlohu, se kterou se v průběhu života setká skoro každý. Při takovéto tvorbě matematického modelu musíme vycházet ze způsobu, kterým jsme odvodili algoritmus složeného úročení a posléze i model složeného úročení.

Na rozdíl od složeného úročení je problém pravidelných splátek dluhu složitější v tom, že se vždy základ dluhu po splátkové období změní - zvětší se o připočtené úroky ze zbývajícího dluhu. Proto je vlastní vzorec pro výpočet, a tedy i algoritmus složitější. Vlastní odvození konstantních splátek dluhu se vypočítává až po poslední splátce. Nejen že studenti musí mít pojem o exponenciální funkci, ale musí umět sečíst i částečnou geometrickou řadu.

Návod včetně vzorců a zajímavých grafů je uveden v následujícím souboru, který obsahuje listy jak pro vedoucího, tak i pro studenta.

Metodický list pro badatelskou aktivitu 3- složené úročení - pravidelné splátky dluhu

Multimédia pro badatelskou aktivitu 3 - složené úročení - pravidelné splátky dluhu

Podobně jako v předchozích částech uvedeme několik obrázků, grafů a videí pro ilustraci daného tématu.

Vztah výše splacené částky a úroků

Mandelbrot

Videokurz o splátkách půjčky

Prvotní dluh (např. státní)

Nenechte se zamáčknout dluhy

Podíl počtu osob se závazkem po splatnosti v registru SOLUS - mapa ČR s % podílem