5. Maticový počet



Maticový počet


Abychom si mohli objasnit algoritmus AES, který nahradil již dříve jmenovaný DES, podíváme se předtím na některé operace s maticemi.


Co je to matice

Existuje několik definic, které říkají, co je to matice, způsob zapsání či čtení matice - zde je příklad jedné z nich:

  • matice typu (m, n) je schéma (či zobrazení), kde m, n jsou přirozená čísla, zapsaná do m řádků a n sloupců obr. 1

Obr. 1


  • a11, a12 až ajk jsou prvky matice (takovým prvkem matice může být číslo, ale i funkce - pro naši potřebu to budou čísla označující pořadí bitů, či samotné 1 a 0)
  • indexy jk u jednotlivých prvků označují polohu prvku - j je řádek, k sloupec

šipka

(pro příklad prvek a22 je umístěn ve druhém řádku a druhém sloupci - proto má index 22)Existují také různé typy matic. Zkusili byste pojmenovat jednotlivé matice podle obrázku obr. 2?

Obr. 2

  • matice Q je matice čtvercová
  • matice E je matice jednotková (označení pro jednotkovou matici může být E, I, J - e jako matice elementární, I z elektrikářských oborů, kde písmenko I značí proud, J jako jednotková)
  • matice N je matice nulová
  • matice O pak matice obdélníková

Základní operace

Teď už víme, jak taková matice vypadá, vyvstává tedy otázka, zda si dokážete představit, co všechno se dá s maticemi provádět. Či vymyslet k čemu matice potřebujeme? Myslíte, že je možné s nimi provádět základní matematické operace?Znáte nějaké?
  • základními operacemi můžeme rozumět sčítání, odčítání, násobení a dělení (dělení budeme rozumět jako inverzní násobení, či násobení inverzní maticí)
  • pomocí pokročilejších operací nám ale matice umí pomoci při řešení kvadratických rovnic
  • pro nás mají matice využití v šifrovacím standardu AES - pomocí operací, kterým se budeme blíže věnovat v následujících článcích, dokáží zašifrovat otevřený text - opět symetricky

Základní operace si budete moci vyzkoušet v připravených cvičeních, kde jsou i podrobně vysvětleny.Důležité je si také uvědomit, za jakých podmínek lze s maticemi početní operace provádět. Například sčítat i odčítat matice můžeme, pouze pokud mají stejný počet sloupců a řádek (tudíž stejný počet prvků).Naopak násobit matice můžeme, pokud se délka řádku první matice rovná délce sloupce druhé matice. Jinak je násobení matic nereálné obr. 3. Abychom pochopili princip standardu AES, bylo by dobré osvojit si operace násobení a transponování. V následujících cvičeních jsou připraveny i ostatní operace, abyste se mohli procvičit.

Obr. 3


Shrnutí

Vysvětlili jsme si základní pojmy z oblasti základního maticového počtu. Přiblížili jsme si, jak taková matice vypadá a jaké základní operace s ní můžeme pro naše účely vykonávat.

Zdroje

Pro další informace či rozšíření vědomostí o maticích, determinantech a podobných zajímavostech z této problematiky je doporučena kniha:TESKOVÁ, Libuše. Lineární algebra. 3. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2010, 243 s. ISBN 978-80-7043-966-1.