Úvod

Jedním z aktuálních požadavků českého školství je nasazení ICT, respektive kognitivních technologií, napříč vyučovanými předměty na základních a středních školách. V hodinách matematiky hovoříme v této souvislosti o využití matematického softwaru – například programů počítačové algebry (CAS) nebo programů dynamické geometrie (DGE). Jedním ze zástupců programů dynamické geometrie s licencí typu open-source je program GeoGebra. V současné době se jedná o jeden ze světově nejrozšířenějších programů pro podporu výuky a studia matematiky. Získat jej lze bezplatně v současně nejaktuálnější verzi GeoGebra 6.0 na internetových stránkách www.geogebra.org a to v celé řadě jazyků, včetně češtiny. Z dalších zástupců programů DGE bychom mohli uvést například Cabri, Cinderella nebo Sketchometry coby zástupce programů dynamické geometrie pro dotyková zařízení. [5]

První prostředí interaktivní geometrie (programy DGE) byla vyvinuta a následně nasazena do výuky v druhé polovině 80. let a jednalo se například o již zmíněný program Cabri, dále lze uvést program Sketchpad. V českých školách se tento, již zdokonalený, software objevuje ve výuce matematiky po roce 2000. V současné době vykazují v prostředí českých škol programy dynamické geometrie nejvyšší míru didaktické použitelnosti a učiteli základních a středních škol je tento software používán nejvíce. [7]

Programy dynamické geometrie obecně představují možnost velmi rychlé a naprosto přesné konstrukce geometrické figury. Jejich přidanou hodnotou jsou pak nástroje dynamiky, kdy je možné oproti konstruování na papíře s výslednou figurou dále pracovat (manipulovat), například měnit vstupní hodnoty, polohy bodů a jiných útvarů, případně sestrojené figury zvýrazňovat (obarvovat). Též je možné nechat automaticky určit obsahy a obvody rovinných geometrických útvarů nebo určovat velikosti úhlů. Základní nástroje dynamiky v prostřední programů dynamické geometrie, které lze využívat při simulaci geometrických konstrukcí a určování významných vlastností nebo rozhodování o počtu řešení, jsou uvedeny dále.


Základní nástroje dynamiky

Zřejmě nejzákladnějším nástrojem programů DGE je manipulace a jedná se právě o prvek, který odlišuje konstruování v počítači oproti konstrukcím pomocí tužky a papíru. Tento nástroj nám umožňuje uchopit některé objekty (konkrétně tzv. volné objekty a objekty na objektu) a tahem změnit jejich polohu. V závislosti na změně polohy můžeme pozorovat vliv vstupních podmínek na výslednou konstrukci a počet řešení. Žáci tak mohou experimentovat a samostatně vyvozovat závěry a objevovat vlastnosti, které nejsou na první pohled zřejmé, případně učiteli dává manipulace možnost zařadit do výuky matematiky některé geometrické důkazy (např. důkaz Thaletovy věty). Manipulace úzce souvisí s nástrojem animace. Ten nám umožňuje jistou automatizaci pohybu vybraných bodů, které se po spuštění plynule pohybují po objektu, kterému náleží (například bod obíhající na kružnici). Aktuální verze programu GeoGebra již automaticky nabízí možnost animace po sestrojení bodu/ů na některém jiném geometrickém objektu a uživatel ji nemusí složitě vytvářet. Animace představují základní nástroj při tvorbě pohyblivých webových appletů. [5], [7]

Dalším nástrojem, který lze využít v kombinaci s manipulací nebo animací, je stopa. Pokud tento nástroj zapneme u vybraných geometrických objektů, zanechávají po sobě tyto objekty při pohybu otisk (stopu) na pozicích, na kterých se nacházely. V hodinách matematiky můžeme tento nástroj využít například při hledání množiny bodů dané vlastnosti a má velký didaktický potenciál. Konkrétním příkladem využití může být například simulace, při níž prezentujeme definici kružnice jako množiny všech bodů v rovině, které mají od daného středu S stejnou vzdálenost. Na obrázku 1 jsou uvedeny tři pozice – před spuštěním animace, v jejím průběhu a po sestrojení celé kružnice. Namísto animace by bylo též možné manipulovat s daným bodem pouze myší, kdy by zanechával stopu obdobným způsobem.


Obrázek 1 KRUŽNICE JAKO MNOŽINA BODŮ DANÉ VLASTNOSTI

Jistou nevýhodu můžeme spatřovat v tom, že výsledný otisk získaný pomocí nástroje stopa není objektem a nemůžeme s ní dále manipulovat.

Posledním nástrojem, který si uvedeme, je množina. Jedná se o objekt, který získáme výpočtem, vzniká naráz a na rozdíl od stopy (vykresleného otisku prostřednictvím tohoto nástroje) se v programech DGE jedná o geometrický objekt a lze s ním dále manipulovat. [7]

K uvedeným nástrojům dynamiky je nutné zmínit, že jejich používání vyvíjí tlak na správnost a obecnost konstrukce. Vlivem manipulace se totiž mění některé vlastnosti sestrojených geometrických objektů, jednotlivé objekty jsou spolu provázány, a navíc některé z těchto objektů nemusí v určité poloze existovat. Při konstruování je tedy nutné mít na paměti důležité vlastnosti příslušných objektů, které bychom neměli opomenout. V případě, že výsledná figura nebude obsahovat všechny nezbytné náležitosti, přejde nám sestrojený útvar manipulací v útvar jiný. Konkrétní příklad je uveden na obrázku 2. Zde je požadována obecná konstrukce libovolného rovnoramenného trojúhelníka. Následnou manipulací by pak vždy měl tento trojúhelník zůstat rovnoramenným. Vlevo je trojúhelník sestrojen pomocí dvou kružnic se středy v krajních bodech úsečky AB (základna trojúhelníka), které mají stejný, ale ne pevný poloměr. Při tomto postupu pomocí kružítka na papíře by zřejmě nebyl problém. Pokud ovšem zapneme stopu v programu GeoGebra a začneme pohybovat základnou tohoto trojúhelníka, případně budeme měnit její velikost, můžeme sledovat, že trojúhelník se bude vlivem těchto změn měnit a nebude vždy rovnoramenný. Tato konstrukce totiž neobsahuje důležitou vlastnost rovnoramenného trojúhelníka, že výška a těžnice na jeho základu jsou totožné. Na obrázku 2 vpravo je provedena konstrukce pomocí jedné kružnice libovolného poloměru se středem ve vrcholu A hledaného trojúhelníka a osy úsečky AB. Vrchol C hledaného trojúhelníka ABC vzniká jako průsečík výše uvedené kružnice a osy. Po zapnutí stopy a manipulaci s trojúhelníkem vidíme, že tento postup konstrukce rovnoramenného trojúhelníka je obecný.


Obrázek 2 OBECNÁ KONSTRUKCE ROVNORAMENNÉHO TROJÚHELNÍKA

Manipulace prováděná ve výše uvedeném příkladu poukazuje na možnost využít tento nástroj učitelem pro kontrolu postupu konstrukce, například v odevzdaném domácím úkolu. Pomineme-li skutečnost, že program GeoGebra (i každý jiný program dynamické geometrie) uchovává jistý zápis konstrukce, v němž máme možnost krokovat, při konstrukci v libovolném programu DGE závisí na pořadí
a způsobu konstrukce jednotlivých objektů. Tyto objekty jsou pak provázány určitým typem vazby. Učitel uchopením výchozích bodů, na kterých by měla být konstrukce založena, a jejich manipulací může okamžitě vyhodnotit, zda se výsledná figura chová standardně či nikoliv. Žáci ve školách při rýsování na papír totiž často se záměrem sestrojit bezchybnou a přesnou konstrukci zapíší správný postup, ale následně postupují od konce – od požadovaného výsledku – a pomocné útvary sestrojí až na závěr. Při rýsování na papír a stálosti figury nemá vyučující šanci podvod odhalit. Nasazením programů dynamické geometrie do výuky matematiky se možnost tohoto postupu eliminuje. [7]


Typy závislostí mezi objekty

V programech dynamické geometrie, jakým je například GeoGebra, existují tři typy objektů, respektive tři typy závislostí mezi geometrickými objekty. Podle typu vazby mezi danými dvěma geometrickými objekty je/není možné s těmito objekty určitým způsobem pohybovat, případně vznikají a zanikají (např. body) v závislosti na manipulaci a aktuální poloze objektů, na základě kterých jsou sestrojeny.

První typem jsou volné objekty, které vznikly přímým vytvořením v nákresně programu. U těchto objektů není definována žádná vazba k dalším objektům a lze s nimi libovolně manipulovat a umisťovat je na libovolnou pozici nákresny. Z hlediska simulace nás tyto body zajímají nejvíce, protože následná konstrukce a počet řešení, např. Apolloniovy úlohy, se odvíjí od jejich vzájemné polohy.

Druhým typem jsou tzv. objekty na objektu. Jedná se o takové geometrické objekty, které byly vytvořeny na již existujícím objektu. Může se jednat například o bod na kružnici nebo přímce. S tímto bodem můžeme sice pohybovat, ale pouze v rámci daného objektu. Stopa těchto bodů nám ovšem může posloužit v situacích, kdy chceme simulovat jistou množinu bodů dané vlastnosti, u které jako učitelé známe tvar, ale potřebujeme tyto vědomosti předat žákům. Můžeme tedy sestrojit jistý geometrický objekt (např. kružnici) a na něj bod. Původní objekt skryjeme, bod však zůstává viditelný a stále nese informaci, že náleží tomuto objektu. Zapnutím stopy a pohybem bodu (případně zapnutím animace) společně se žáky znovuobjevujeme původní geometrický útvar, přesněji řečeno – konstruujeme množinu bodů dané vlastnosti (viz obrázek 1).

Třetí typ závislosti nazýváme vázané objekty, které vznikly na základě jiných, již dříve sestrojených, geometrických objektů. Konkrétně se může jednat například o průsečík dvou objektů (přímka – přímka, kružnice – kružnice, přímka – kružnice,…). S těmito objekty není možné přímo manipulovat, jejich polohu (a existenci) lze měnit pouze pomocí manipulace s objekty, na základě kterých jsou založeny. V rámci geometrické konstrukce se zpravidla jedná o hledané body potřebné pro konstrukci výsledku.

Jednotlivé typy závislostí a možná manipulace s geometrickými objekty daného typu je zachycena s využitím stopy na uvedeném obrázku 3. Bod A je volný objekt, bod B představuje objekt na objektu (bod na kružnici) a bod C vznikl jako průsečík dvou přímek a reprezentuje vázané objekty. Při konstrukci byly zachovány původní barvy a tvar bodů přidělované programem GeoGebra. Je zde patrné, že jednotlivé typy objektů (body) se barevně a velikostně odlišují.


Obrázek 3  TYPY ZÁVISLOSTÍ MEZI OBJEKTY V PROGRAMECH DYNAMICKÉ GEOMETRIE


Vizualizace a vytváření mentálních modelů

Lékařskými výzkumy bylo již dříve potvrzeno, že pokud člověk vnímá skutečnost více smysly, vede to k lepší stimulaci mozku a tudíž i k lepšímu procesu učení se. Vizualizaci tak často najdeme uváděnou v souvislostech s aktivizujícími výukovými metodami. Tradičně učitelé využívají ve výuce obrázky, grafy a náčrtky, které žákům pomáhají při orientaci ve studovaném problému a při pochopení abstraktního pojmu. Počítačová simulace a možnosti programů dynamické geometrie v hodinách matematiky proto představují ideální nástroj pro řešení problémů, testování hypotéz a vytváření teorií, kdy přidanou hodnotou oproti statickým obrázkům jsou právě prvky dynamiky. Žáci mohou například prostřednictvím animace v okamžiku simulovat všechny polohy vstupních geometrických objektů, od kterých se celá konstrukce odvíjí, a získat tak množinu všech řešení, kterou si mohou navíc nechat vykreslit pomocí nástroje stopa. [6], [7]

Konkrétním příkladem může být řešení jedné z Apolloniových úloh (viz kapitola 2) s využitím simulačních možností programu GeoGebra, tj. manipulace, animace, stopa. Mějme typ úlohy bod-bod-bod (BBB). Jako u každé z Apolloniových úloh se počet, resp. existence, řešení odvíjí od polohy počátečních geometrických útvarů. U tohoto typu úlohy je řešení zřejmé. V případě tří kolineárních bodů není možné požadovanou kružnici procházející všemi body sestrojit a řešení tedy neexistuje. V opačném případě představuje hledaná kružnice kružnici opsanou trojúhelníku s vrcholy v zadaných bodech. Žákům může být tato úloha zadána jako složitější problém s dílčími úkoly – sestrojit některé z možných řešení, určit jejich počet a následně zvážit vliv změny polohy zadaných bodů na počet a případnou existenci řešení. Možné žákovské řešení s využitím programu GeoGebra je sestrojeno na obrázku 4.


Obrázek 4 EXISTENCE ŘEŠENÍ ÚLOHY BBB V ZÁVISLOSTI NA POLOZE DANÝCH BODŮ

Figura nalevo představuje jedno z možných řešení. Prostřední obrázek představuje stav po provedení (případně v průběhu) simulace, tedy záznamu stopy výsledné kružnice v závislosti na pohybu jednoho z bodů (ten byl pro možnost animace a automatizace celého procesu sestrojen na kružnici, která byla následně skryta). Z chování výsledné kružnice při simulaci je patrné, že s přibližováním bodů do kolineární polohy roste její průměr a v kolineární poloze bodů tato kružnice zanikne, respektive není možné kružnici sestrojit. Tento stav je zachycen na figuře vpravo. Žák takto může samostatně dojít k závěru, že pokud neleží zadané body na jedné přímce, pak existuje právě jedno řešení. V opačném případě řešení neexistuje.

Vizualizace, počítačová simulace a uvádění názorných příkladů v hodinách matematiky úzce souvisí s tvorbou mentálních modelů daných matematických pojmů. Ta postupně prochází několika stádii (od počáteční motivace až po utvoření universálního modelu) a žáci si tak formují vlastní představu o vlastnostech, chování a fungování probíraného pojmu. Správnost vytvoření modelu pak přímo ovlivňuje správnost chápání tohoto pojmu i vztahů mezi ním a dalšími matematickými pojmy. Častým problémem v českých školách ovšem je mechanické přebírání probíraných pojmů (jejich definic) žáky bez hlubšího porozumění. Klíčovou roli zde hraje čas a utváření tzv. separovaných modelů, které vznikají na základě pozorování a praktické manipulace s (geometrickými) objekty. Obvyklým problémem však bývá, že manipulaci s geometrickými objekty (obdobně v jiných pasážích učiva s výrazy a čísly) není věnován ve výuce dostatečný prostor, aby si žáci mohli utvořit potřebný počet separovaných modelů pro vznik modelu universálního. Kognitivní technologie ve výuce matematiky, využití programů dynamické geometrie a počítačové simulace nám ovšem dávají možnost ve velmi krátkém časovém úseku prezentovat značné množství situací, při nichž si žáci separované modely vytváří. V případě manipulace s geometrickými objekty v programu GeoGebra (či v jiném programu DGE) a experimentování s nimi mají žáci možnost tento experiment několikrát zopakovat a díky jejím dynamickým prvkům a počítačové simulaci je možné poukázat na vlastnosti, které nejsou zřejmé při tradičním postupu konstruování na papíře. V této souvislosti je nutné podotknout, že s využitím počítačových kognitivních technologií je obecně možné realizovat takové manipulace s geometrickými figurami, které nám tradiční přístup neumožňuje. Toto tvrzení by se pochopitelně dalo rozšířit na jakékoliv využití počítačové simulace v ostatních přírodovědných předmětech na základní a střední škole. [1], [3], [7]


Literatura

1.    HEJNÝ, Milan, NOVOTNÁ, Jarmila a VONDROVÁ, Naďa, ed. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta, 2004. ISBN 80-7290-189-3.      

2.    LÁVIČKA, Miroslav. Syntetická geometrie: Pomocný učební text k předmětu KMA/SG. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. 190 s.

3.    Michalík, Petr. Počítačová simulace elektronických obvodů a její využití ve výuce.
Vyd. 1. Plzeň: Západočeská univerzita, 2014. 143 s. ISBN 978-80-261-0331-8.

4.    PATÁKOVÁ, Eva. Webovská interaktivní sbírka geometrických úloh. Plzeň, 2005. Diplomová práce. Západočeská univerzita. Vedoucí práce: RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D.

5.    PECH, Pavel, ČINČUROVÁ, Lenka, GÜNZEL, Martin et al. Badatelsky orientovaná výuka matematiky a informatiky s podporou technologií. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 2015. ISBN 978-80-7394-531-2.

6.    VALIŠOVÁ, Alena, KASÍKOVÁ, Hana a kol. Pedagogika pro učitele. 1. vyd. Praha: Grada, 2007. ISBN 978-80-247-1734-0.

7.    Vaníček, Jiří. Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie.
Praha: Univerzita Karlova, 2009. 212 s. ISBN 978-80-7290-394-8.

8.    Vyšín, Jan. Geometria pre pedagogické fakulty. 2.diel. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateĺstvo, 1970. 316 s.

9.    Vyšín, Jan. Geometrie pro pedagogické fakulty. 1. díl. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1965. 383 s.


Naposledy změněno: středa, 12. října 2022, 14.03