Výroková logika

Výroková logika

 

Výrok je každé srozumitelné sdělení, které je úplné, objektivní a o kterém má smysl uvažovat, zda je pravdivé nebo nepravdivé.

Věta tedy musí obsahovat plné informace. Musí mít smysl uvažovat o její pravdivosti nebo nepravdivosti, i kdyby toto nešlo v dané chvíli rozhodnout. Výrokem není zvolání, rozkaz, otázka, neúplná informace, přání, pocity.

 

            Výrok                                                 Není výrok

Dnes je středa.                                               Prší. (nedostatečná informace, nevíme,

                                                                                    kde prší)

Slon je větší než mravenec.                          Náš pes je rychlejší. (než kdo?)

Hlavní město ČR je Praha.                            Kam půjdeš dnes večer?

 

Výroky mohou být pravdivé nebo nepravdivé.

 

            Pravdivý výrok                                  Nepravdivý výrok

Slon je větší než mravenec.                           Řeka Labe protéká Plzní.

Kočka má 4 nohy.                                            Lev není šelma.

 

Dělení výroků

a)      jednoduchý výrok (jednoduchá věta)

Prahou protéká řeka Vltava.

 

b)      složený výrok (vznikne alespoň ze dvou jednoduchých výroků pomocí logických spojek)

Praha je hlavní město České republiky a protéká jí řeka Vltava.

 

c)      individuální výrok (týká se jedné konkrétní věci, osoby, časového údaje)

Naše kočka Micka je strakatá.

 

d)      kvantifikovaný výrok

Všechny kočky jsou strakaté.

 

Výroky jednoduché a složené

Jednoduché výroky:    Praha je hlavní město České republiky.

                                       Prahou protéká řeka Vltava.

Složené výroky

a)      konjunkce výroků– používáme spojky  a, i, dokonce, ani-ani, avšak, ale

Praha je hlavní město České republiky a protéká jí řeka Vltava.

Konjunkce dvou výroků je pravdivá, pokud jsou oba výroky pravdivé.

 

b)     ostrá disjunkce výroků – používáme spojku buď-nebo

Buď je Praha hlavní město České republiky, nebo jí protéká řeka Labe.

Ostrá disjunkce dvou výroků je pravdivá, pokud je jeden výrok pravdivý a druhý nepravdivý.

 

c)      neostrá disjunkce výroků – používáme spojku nebo

Praha je hlavní město České republiky nebo jí protéká řeka Vltava.

Neostrá disjunkce dvou výroků je pravdivá, pokud je pravdivý alespoň jeden výrok.

d)     implikace výroků – používáme spojky jestliže-pak, jestliže, pokud, -li, když

Jestliže je Praha hlavní město České republiky, pak jí protéká řeka Vltava.

            předpoklad implikace                                       závěr implikace

      Implikace dvou výroků je nepravdivá, jestliže je předpoklad pravdivý a závěr nepravdivý. V ostatních případech je implikace pravdivá.

 

e)      ekvivalence výroků – používáme spojky právě tehdy-když, jen když

Praha je hlavní město České republiky, jen když jí protéká řeka Vltava.

Ekvivalence dvou výroků je pravdivá právě tehdy, když jsou oba výroky pravdivé nebo jsou oba výroky nepravdivé.

 

? Uvedené jednoduché výroky o Praze zkuste spojit při vytváření složených výroků a) až e) jinými spojkami. Rozhodněte o pravdivosti či nepravdivosti vytvořených složených výroků.

? Vytvořte všechny složené výroky z jednoduchých individuálních výroků:

Dnes ráno jsem snědla rohlík.

Dnes ráno jsem vypila šálek čaje.

Rozhodněte na základě vlastní situace o pravdivosti či nepravdivosti těchto složených výroků.

 

 

 

Výrok a výroková forma

Výrok

3 + 2  = 5        výrok pravdivý

3 + 2 = 7         výrok nepravdivý

 

Výroková forma

3 + 2 = x

Výroková forma je jakýsi „polotovar výroku“, obsahuje neznámou. Z výrokové formy dostaneme výrok, jestliže za neznámou dosadíme konkrétní objekt. Ten vybíráme ze skupiny objektů, která se nazývá definiční obor. Definiční obor můžeme volit sami nebo je přesně určen, zadán. Definiční obor obsahuje obor pravdivosti. Pokud dosadíme objekty z oboru pravdivosti za neznámou do výrokové formy, dostaneme pravdivý výrok.

 

Výroková forma                     Definiční obor                                               Obor

                                                                                                                        pravdivosti

3 + 2 = x                                 čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10                    číslo 5

d . m                                         písmena abecedy                                    písmeno ů

 obrys slona                             barvy pastelek                                         šedá barva

Výroky individuální a výroky kvantifikované

Výrok individuální                                                    Výrok kvantifikovaný

Gábina nepřeskočila kozu.                                        Někdo z dětí nepřeskočil kozu.

Hanka má rýmu.                                                        Všechna děvčata z 1.C mají rýmu.

Dan to ví.                                                                   Každý žák to ví.

Na tomto stole teď leží knihy.                                   Na tomto stole vždy leží knihy.

                                                                                   Všude na stolech teď leží knihy.

Struktura kvantifikovaného výroku:

Kvantifikátor      definiční obor       výroková forma

Všechna             děvčata z 1.C         mají rýmu.

 

Výroková forma vyjadřuje charakteristickou vlastnost objektů.

Kvantifikátor vymezuje k jaké části definičního oboru se vztahuje charakteristická vlastnost vyjádřená výrokovou formou. Kvantifikátory se mohou týkat

- živé přírody:    všichni, každý, někdo, nikdo

- neživé přírody:    něco, nic, vše

- místa:   všude, někde, nikde

- času:   vždy, někdy, nikdy

Rozeznáváme tedy tyto výroky:

a)      jednoduchý individuální – Petr má pastelku.

b)     jednoduchý kvantifikovaný – Všichni žáci mají pastelku.

c)      složený individuální  - Petr má pastelku a fix.

d)     složený kvantifikovaný – Někdo z dětí má pastelku a fix.

 

 

? Vytvořte

-          ostrou disjunkci dvou individuálních výroků

-          neostrou disjunkci dvou kvantifikovaných výroků

-          konjunkci dvou kvantifikovaných výroků

-          ekvivalenci dvou individuálních výroků.

Zdroj: Přednášky PhDr. Michaely Kaslové v rámci předmětu Rozvoj logického a matematického myšlení na FPE ZČU.