Náměty aktivit

Cíl: Žáci a studenti se praktickým způsobem seznámí se zápisem čísel v Mezopotámii v době cca před čtyřmi tisíci lety. Připomenou si počítání v šedesátkové soustavě, kterou v matematice využívají např. v šestém ročníku či primě při počítání s úhly. Slovní úloha v textu vede na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Studenti mohou z textu na tabulce vypozorovat, jaké označení pro neznámé používali mezopotámští počtáři, a porovnat ho s dnešním zápisem. Porovnání mezopotámského postupu řešení úlohy a postupu, jímž soustavu řeší studenti, vede k zamyšlení nad efektivitou použitých metod.

 Nevýhody babylonského zápisu
Na základě předchozího uspořádej čísla (3,30), (29) a (14;30), která se nacházejí přibližně uprostřed tabulky, vzestupně podle velikosti.
-> (14;30) < (29) < (3,30)
Nyní sleduj zápis těchto čísel v původním klínovém písmu. Jak bys na jeho základě čísla uspořádal/a nyní? Zkus klínový zápis přepsat pomocí arabských číslic.
-> Největší je číslo přepsané jako (14;30), následuje číslo zapsané jako (3,30) a nejmenším je (29), protože 29 < 3.60 + 30 < 14.60 + 3, neboť 29 < 183 < 843.
Odhalíš příčinu odlišného uspořádání?
-> V klínovém písmu není nijak oddělena celá a necelá část čísla.
Nelze tedy poznat, které znaky jsou před a které za „šedesátinnou čárkou“. Skutečnou hodnotu je třeba rozpoznat z kontextu úlohy.

♦ Zkus zapsat klínovým písmem rok tvého narození. Nápověda: Uvažuj, kolikrát se do letopočtu tvého narození vejde 60. Výsledek zapiš pomocí dvou základních znaků, tj. znaku pro 10 a znaku pro 1. Zbytek po dělení 60 napiš také pomocí znaku pro 10 a 1.
-> Správnost výsledku si můžeš ověřit na stránce http://demonstrations.wolfram.com/BabylonianNumerals/ .

Vlastní úloha
Prozradím, že v první třetině tabulky je zapsáno zadání následující úlohy:
Délka, šířka. Délku a šířku vynásobil jsem a tak [jsem] udělal plochu. Opět, oč délka přesahuje šířku, přidal jsem k ploše a [to dalo] (3,3).
Opět délka a šířka sečteny [dávají] (27). Délka, šířka a plocha [je] co?
                (27)        (3,3) součty
                (15)        délka
                                               (3,0) plocha
                (12)        šířka

Matematizace úlohy a její řešení
Rozumíš tomu, co úloha požaduje zjistit? 
Zkus ji zapsat obvyklým matematickým zápisem. Co jsou neznámé?
->  V textu úlohy se požaduje zjistit délku, šířku a plochu. Protože plochu lze na základě textu úlohy vypočítat jako součin délky a šířky, postačí jako neznámé uvažovat délku a šířku.
Označ neznámé obvyklými písmeny x, y a zapiš pomocí nich výrazy, o nichž se v textu hovoří. Jakým výrazem přepíšeš slova „délku a šířku vynásobil jsem“ ...
-> x.y
... a jakým slova „oč délka přesahuje šířku“?
-> x - y
Jak lze matematizovat text babylonské úlohy?
-> Text lze přepsat soustavou dvou rovnic o dvou neznámých: x.y + (x - y) = 183, x + y = 27.
Vyřeš soustavu.
-> Lze očekávat, že studenti budou úlohu řešit dosazovací metodou (vyjádřením např. y z druhé rovnice a dosazením odpovídajícího výrazu do první rovnice se získá kvadratická rovnice v neznámé x, jejíž dva kořeny vedou na dvě řešení soustavy; [14, 13], [15, 12]).
Bylo to jednoduché? Setkal ses ve škole s podobnou úlohou? Jak jsi postupoval?

Srovnání s řešením na tabulce
Podívej se znovu na obrázek. Jak asi postupoval počtář čtyři tisíce let před tebou? Pokus se vyluštit to z následujícího překladu jeho řešení. Pro odhalení babylonské metody řešení úlohy bude vhodné, když si postup přepíšeš dnešní úspornou symbolikou a místo čísel si představíš i odpovídající výrazy v hledaných neznámých. Např. místo čísla 27 budeš uvažovat i výraz x + y.

-> První krok, součet 27 a 183, je z našeho pohledu poměrně nepochopitelný. Při podrobnějším zkoumání a zápisu odpovídajících výrazů zjistíme, že součet 27 = x + y a 183 = x.y + (x - y) odpovídá 210 = [x + y  + [xy + (x - y)] = xy + 2x = x(y + 2). V druhém kroku se získá hodnota 29 výrazu x +  y + 2. Teprve v závěru babylonského řešení je naznačeno, že prvními dvěma kroky je zadaná soustava transformována na jednodušší. Píše se v něm totiž o dvou druzích vypočtených šířek - „šířka" 14 a „konečná šířka" 12. Při označení neznámé šířky písmenem y je "konečná šířka" y a "šířka" (pomocná šířka) je y + 2. Označme ji y', tj. y' = y + 2. Ze soustavy x.y + (x - y) = 183, x + y = 27 lze prvními dvěma úpravami získat mnohem jednodušší soustavu x.y' = 210, x + y' = 29.
Pro takový typ úloh měli mezopotamští počtáři vypracovaný jednotný algoritmus, který je použit i v úloze z tabulky AO 8862:
1. součet rozpul, (x+y').½
2. výsledek umocni, [(x+y').½]²
3. od vypočtené druhé mocniny odečti součin,  [(x+y').½]² -xy', výsledek odpovídá druhé mocnině poloviny rozdílu hledaných čísel, tj.  [(x-y').½]²
4. odmocni,  (x-y').½
5. sečti polovinu součtu s výsledkem, dostaneš jedno hledané číslo,  [(x+y').½] +  [(x-y').½] = x
   odečti od poloviny součtu výsledek, dostaneš druhé hledané číslo,  [(x+y').½] - [(x-y').½] = y

Na čem je založeno mezopotamské řešení?
-> substituce a tři identity (rovnosti): (1) [(a+b).½]²  - ab= [(a-b).½]², (2) [(a+b).½] + [(a-b).½] = a, (3) [(a+b).½] - [(a-b).½] = b
 
Kolik řešení našel mezopotamský počtář a kolik ty?
-> Podle textu řeší danou úlohu délka 15 a šířka 12.
Kolik má řešení soustava, na kterou úloha vede?
-> Řešením úlohy je délka 15, šířka 12 a také délka 14, šířka 13.
Proč je na tabulce pouze jedno řešení?
-> Počtář postupoval podle algoritmu, který správně vypočte délku a šířku v tom smyslu, že číslo pro délku je větší než číslo pro šířku. Babylonský počtář nemohl k řešení - délka 14, šířka 13 dospět, neboť pomocná šířka y' = y + 2 = 15 by byla větší než délka 14.

Závěrem
Na základě jediné úlohy se studenti seznámili s některými podstatnými rysy mezopotamské matematiky. Předně se dozvěděli, že počítali v šedesátkové soustavě, používali úsporný zápis pomocí klínového písma, uměli aritmeticky, tj. pomocí posloupnosti operací s danými čísly, vyřešit úlohy, které bychom dnes řešili algebraicky, tj. zavedením neznámých a řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Při řešení jednoduchých úloh používali standardizované postupy, které se opírají o platnost několika identit. Jak je odvodili, není zcela jasné. Uměli promyšleně použít transformace složitějších úloh na jednoduché úlohy proto, aby mohli použít standardní algoritmus řešení úlohy.

Doporučený multimediální materiál je  na této stránce.