Metoda Monte-Carlo

Motivační příklad - aproximace Ludolfova čísla π

Velikost obsahu kruhu je dána známým vzorcem , a tedy čtvrtina velikosti této plochy činí . Zavedeme souřadný pravoúhlý systém. V prvním kvadrantu zobrazíme jednotkový čtverec, jehož vrchol umístíme do počátku. Nechť tento počátek je středem kruhové výseče, kterou popišme využitím analytické geometrie nerovností  . Tuto situaci popisuje obrázek vlevo. Zavedeme sérii náhodných pokusů - vygenerujeme náhodné body , kde 

Pro názornost je možno tuto sérii spojovat se situací, v níž máme k dispozici n herních šipek, které postupně házíme na terč, kterým je onen jednotkový čtverec. Lze očekávat, že některé šipky dopadnou do kruhové výseče, jiné nikoliv. Předpokládejme, že jsme všech n šipek vhodili na čtverec. Definujme jev A náhodně vybraným bodem ležícím v kruhové výseči. Podle definice geometrické pravděpodobnosti můžeme psát  Vzdálenost bodu Xi ležícího v kruhové výseči od počátku souřadného systému je dána velikostí radiusvektoru A proto úspěšný pokus nastane, je-li splněna podmínka  V opačném případě, tj. pokud bod Xi splňuje podmínku  , nastane pokus neúspěšný. Pokud tedy nastane v n pokusech m úspěšných pokusů, kde m ≤  n, můžeme psát . Dále s využitím rovnosti  je nakonec možno zapsat vztah   a odtud Nyní je vše připraveno k implementaci v programu ® Wolfram Mathematica 8 .

Po provedení příkazů uvedených v souborech obsah kruhu a obsah trojúhelníku. Výsledek je zobrazen dále v následujících obrázcích: Rozmístění bodů v kruhu a mimo něj (celkově 100 000 pokusů)

Rozmístění bodů v kruhu a mimo něj (celkově 100 000 pokusů)

První položku (obsah kruhu) můžeme popsat přesněji pomocí metod programu Mathematica (podobně, ale komplikovaněji bychom mohli postupovat v prostředí MS Excel). V následujícím je tento postup popsán.

Samozřejmě, že můžeme podobný experiment provést i pomocí jednoduchých prostředků – je možné ho provádět pomocí hodů dvou kostek.

Informace ke stažení ve formátu pdf zde.