Náměty aktivit pro popularizaci matematiky

Jednoduché optimalizační úlohy zadávané většinou jako úlohy slovní lze dosti často vhodně řešit použitím grafické metody, resp. tuto metodu využít ke zjednodušení komplikovaného početního řešení. Oproti klasickému "statickému" znázornění náčrtkem na papíře lze úspěšně postavit některé nástroje dynamické geometrie, především aplikaci GeoGebra (pro nekomerční užití zdarma dostupná na stránce http://www.geogebra.org), v níž uživatel může nejen konstruovat geometrické objekty, pracovat s geometrickými zobrazeními či například vyšetřovat průběhy funkcí, ale využívat ji i způsoby, které u dalších programů dynamické geometrie nejsou možné. V případě řešení jednoduchých optimalizačních úloh je tak možné vytvořit názorný interaktivní náčrt zadané situace a zkoumat změny, které nastanou při změně vstupních parametrů.

Příklad (Rozvoz mléka): Mléko z mlékárenských závodů ve městech A a B se vozí také do měst R, S a T. Denně se může z A dodat 250 přepravek s mlékem a z B 350. Denně je potřeba dodat 150 přepravek do R, 240 přepravek do S a 210 přepravek do T. Nalezněte způsob rozvozu, při kterém budou náklady nejnižší. Náklady na přepravu jedné přepravky z mlékárenského závodu do místa prodeje jsou v tabulce.

Řešení: Hledání optimalizovaného výstupu v zásadě odpovídá nalezení extrému (minima) funkce více proměnných v oblasti omezené danými podmínkami. V našem případě je nejprve nutné volit dvě neznámé x a y udávající počty přepravek dopravených z A do R a z B do R a počty zbývajících přepravek vyjádřit podle podmínek uvedených v zadání.

Z obou tabulek je následně možné konstruovat tzv. účelovou funkci, která vypovídá o výstupní hodnotě nákladů na přepravu f(x, y) = 4x + 3y + 5·(250 - x - y) + 5·(150 - x) + 6·(240 - y) + 4·(x + y - 40), po úpravě f(x, y) = -2x - 4y + 3280. Podmínky pro omezení oblasti pak také vychází z vyjádření v tabulce: x ≥ 0, x ≤ 150, y ≥ 0, y ≤ 240, x + y ≤ 250, x + y ≥ 40. Zanesené do soustavy souřadnic v programu GeoGebra jsou vidět na obrázku, kde tvoří n-úhelník.

Grafické znázornění podmínek (obrázek vlastní tvorby)

Na tento n-úhelník lze v programu umístit bod, třeba bod A, a též textové pole, do něhož bude vypisována funkční hodnota účelové funkce pro příslušné souřadnice x a y bodu A. Změnou polohy bodu A je dosaženo změny funkční hodnoty a jeho posunováním ve vymezené oblasti je možné experimentálně odhalit, kde nabyde funkce f(x, y) své minimum. Interaktivní figura odpovídající zadání příkladu je k nalezení v sekci Multimédia k badatelské aktivitě.

Hodnoty souřadnic x a y bodu A pak budou částí hledaného řešení zadané úlohy. V našem případě nalezneme minimum účelové funkce ve vrcholu n-úhelníku o souřadnicích [10; 240], následně je možné dopočítat i zbývající neznámé.

Tabulka s optimalizovaným rozpisem rozvozu přepravek vypadá následovně:

a slovní odpověď zní, že nejnižší náklady na přepravu budou tehdy, pokud bude z A do R přepraveno 10 přepravek, z A do S 240, z B do R 140 a z B do T 210 přepravek.

Obdobnými způsoby lze samozřejmě řešit i další jednoduché optimalizační úlohy, pro ilustraci uvádíme některá další zadání podobných příkladů:

Příklad (Tovární hala): V tovární hale je instalováno 60 strojů typu I a 40 strojů typu II, podnik však může získat na práci ve druhé směně nejvýše 80 dělníků. Na každém stroji typu I vyrobí dělník za směnu nejvýše 200 kusů výrobku A, na každém stroji typu II nejvýše 300 kusů výrobku B. Plán požaduje vyrobit aspoň 12.000 kusů celkem za směnu. Každý stroj I má hodinový příkon 5 kW, každý stroj II má hodinový příkon 15 kW, pro celou halu je limit 750 kW. Při kterém rozdělení dělníků ke strojům typu I a II dosáhne druhá směna maximálního čistého zisku pro podnik, jestliže z jednoho kusu výrobku A je zisk 80 euro a z jednoho kusu výrobku B je zisk 100 euro?

Příklad (Osevní plocha): Na celkové výměře maximálně 10 hektarů se má pěstovat pšenice a cukrovka tak, aby tržní produkce byla co největší. Pšenice se z agrotechnických důvodů nesmí pěstovat na více než 4 hektarech. Jako činitele výroby uvažujeme jen počet pracovních hodin, přičemž zdrojem výroby je celkový počet pracovních hodin v jednotlivých měsících špičkových prací, které jsou uvedeny v tabulce.

Příklad (Krmná směs): Z krmných surovin A a B je třeba namíchat nějaké množství krmné směsi tak, aby byly splněny tři živinové požadavky P, Q a R a aby směs byla co nejlevnější. Údaje potřebné k výpočtu jsou v tabulce.

Příklad (Fotoaparáty): Závod na výrobu fotoaparátů vyrábí dva druhy A a B. Velkoobchodní cena aparátu A je 1000 euro, fotoaparátu B 500 euro. Jestliže odečteme od těchto cen vlastní náklady spojené s výrobou každého kusu fotoaparátu (pro A je to 600 euro, pro B 200 euro), můžeme říci, že čistý zisk podniku za jeden fotoaparát A je 400 euro, za fotoaparát B 300 euro. Kapacitu dílen vyjádřenou v počtu kusů výrobků A a B zhotovených za kvartál vyjadřuje tabulka. Je třeba zjistit, kolik fotoaparátů A a kolik fotoaparátů B za kvartál má závod vyrobit, aby byl zisk maximální. (Předpokládáme, že závod není při výrobě fotoaparátů vázán žádným plánem, pokud jde o počet kusů jednotlivých typů výrobků.)