Náměty aktivit pro popularizaci matematiky

Přirozená nespokojenost člověka se vším, co právě je a touha po tom, co právě není, zahrnuje mnohdy i nespokojenost s věkem, který je mu spravedlivě a nekompromisně měřen rotacemi Země.
Předvedeme malý trik, jak iluzorně nabýt takového věku, s nímž bychom aspoň nějaký čas byli spokojeni.

1. Motivace problému, jak se učinit starším
Pusťte si video 

.

Dejme tomu, že se ocitneš v roli 13leté slečny Barbory prahnoucí po Štefanovi, který už dosáhl plnoletosti, a chceš být „o pár let starší“, resp. být aspoň plnoletá. Jak to zařídit?

Trik bude spočívat v tom, že potřebujeme, aby číslo 13 „vypadalo“ jako číslo 18 nebo o trochu větší.

V našich i vzdálenějších končinách jsou lidé do života povětšinou vybaveni celkem 10 prstíky na obou rukách a dalšími 10 prstíky na nohách. Proto se nám jeví jako zcela samozřejmý a přirozený takový postup zápisu počtu čehokoli, v němž předměty napočítáme na prstech obou rukou a je-li jich víc, rozdělíme je do skupin po deseti. Zapíšeme počet skupin a následně případně připíšeme počet zbylých předmětů, které nezvládly vytvořit desetičlennou skupinu. Například počet let 13leté slečny zhmotněný třeba svíčkami na jejím narozeninovém dortu lze rozdělit na jednu skupinu s deseti svíčkami a zbylé tři svíčky, proto píšeme 13, ale jde vlastně o zkrácený zápis 1.10 + 3 (jedenkrát obě ruce a tři prsty).

Aby bylo možno slečnu aspoň imaginárně postaršit, museli bychom jejích 13 svíček rozdělovat do skupin o menším počtu než 10. Zkusme svíčky rozdělovat např. do skupin po 8. V tom případě máme jednu osmičlennou skupinu a pět zbylých svíček, tj. 1.8 + 5. Mimozemšťan nebo pohádková bytost z kreslených seriálů, které se z estetických důvodů vejdou na ruku často jen čtyři prsty, by tedy mohla psát, že slečně je právě 15 let (jedenkrát obě čtyřprsté ruce a pět prstů).

Slečna je aspoň zápisem o dva roky starší, ale plnoletá ještě není.

♦ Do jak početných skupin bude potřeba rozdělovat Barbořiny dortové svíčky, aby se plnoletou stala?
-> Zkusíme-li rozdělovat svíčky po 7, bude Barboře 1.7 + 6 let, což by se dalo zapsat číslem 16.
-> Teprve při volbě počítání po šestičlenných skupinách, dosáhne Barbora plnoletosti, neboť 2.6 + 1 lze šikovně zapsat jako 21.

♦ Zkus se postaršit podle Barbořina vzoru. Jaký počet ve skupině budeš volit? Menší než 10 nebo větší než 10?
-> Menší než 10.

♦ Při jakém počtu svíček ve skupině jsi nejstarší? Jaký je Tvůj nejvyšší věk?
-> Nejvyššího věku se dosahne, když skupinu bude tvořit co nejmenší počet předmětů, který je však větší než 1. Proto je člověk "nejstarší", bude-li počet jeho svíček rozdělován do skupin po dvou.

2. Trocha matematiky – dohoda o zápisu čísel a některé pojmy
Všimněme si, že Barbora je stále stejně stará. Jen jsme číslo 13 jednou vyjádřili jako 1.10 + 3, pak jako 1.8 + 5, následně součtem 1.7 + 6 a nakonec jako 2.6 + 1. Pak jsme tyto rozvinuté zápisy zkrátili na za zápisy 13, 15, 16, 21. Byl by to z naší strany podvod, kdybychom v posledních třech případech nepřiznali, že počítáme jinak než po desetičlenných skupinách. Aby nedocházelo k nedorozuměním, budeme k číslu připisovat dolní index vyjadřující počet předmětů, které tvoří skupinu, např. 13₁₀, 15₈, 16₇, 21₆. Čísla v dolních indexech 10, 8, 7, 6 jsou tzv. základy číselných soustav. Běžně počítáme v číselné soustavě se základem deset (v tzv. desítkové soustavě nebo též dekadické soustavě), číslo 15₈ je zápisem čísla 13₁₀ v soustavě se základem osm (v tzv. osmičkové soustavě neboli oktalové soustavě), výrazem 16₇ je zapsáno číslo 13₁₀ v soustavě se základem sedm (tj. v tzv. sedmičkové či septilové soustavě), konečně 21₆ představuje číslo 13₁₀ v soustavě se základem šest (v tzv. šestkové či sextilové soustavě). Můžeme psát  13₁₀ = 15₈ = 16₇ = 21₆. Součet 1.10 + 3 je rozvinutý zápis čísla 13₁₀ v desítkové soustavě, součet 1.8 + 5 je rozvinutý zápis téhož čísla v osmičkové soustavě apod. pro 1.7 + 6 a 2.6 + 1.
Barboru i sebe jsi tedy postaršil díky změně základu číselné soustavy.

3. Jak se učinit mladším
Pusťte si video

 nebo . 

Ač se Tě to ještě netýká, dříve či později dospěješ k tomu, že by bylo lepší být „o pár let mladší“.

♦ Uměl bys pomoci zpěvákovi skupiny Beatles v omlazení, až mu bude oněch 64 let?
-> Věk vylepším změnou číselné soustavy.

♦  Jaký základ číselné soustavy zvolíš, aby v něm číslo 64 bylo „menší“? Menší než 10 nebo větší než 10?
-> Větší než 10.

♦ Jaký věk mu můžeš nabídnout, chce-li zůstat plnoletý?
-> V soustavě se základem 11 je 64₁₀ = 5.11 + 9 = 59₁₁.
-> V soustavě se základem 12 je 64₁₀ = 5.12 + 4 = 54₁₂.
-> V soustavě se základem 13 je 64₁₀ = 4.13 + 12 = 4,12₁₃.
-> V soustavě se základem 14 je 64₁₀ = 4.14 + 8 = 48₁₄.
-> V soustavě se základem 15 je 64₁₀ = 4.15 + 4 = 44₁₅.
-> V soustavě se základem 16 je 64₁₀ = 4.16 + 0 = 40₁₆.
-> V soustavě se základem 17 je 64₁₀ = 3.17 + 13 = 3,13₁₇.
-> V soustavě se základem 18 je 64₁₀ = 3.18 + 10 = 3,10₁₈.
-> V soustavě se základem 19 je 64₁₀ = 3.19 + 7 = 37₁₉.
-> V soustavě se základem 20 je 64₁₀ = 3.20 + 4 = 34₂₀.
-> V soustavě se základem 21 je 64₁₀ = 3.21 + 1 = 31₂₁.
-> V soustavě se základem 22 je 64₁₀ = 2.22 + 20 = 2,20₂₂.
-> V soustavě se základem 23 je 64₁₀ = 2.23 + 18 = 2,18₂₃.
-> V soustavě se základem 24 je 64₁₀ = 2.24 + 16 = 2,16₂₄.
-> V soustavě se základem 25 je 64₁₀ = 2.25 + 14 = 2,14₂₅.
-> V soustavě se základem 26 je 64₁₀ = 2.26 + 12 = 2,12₂₆.
-> V soustavě se základem 27 je 64₁₀ = 2.27 + 10 = 2,10₂₇.
-> V soustavě se základem 28 je 64₁₀ = 2.28 + 8 = 28₂₈.
-> V soustavě se základem 29 je 64₁₀ = 2.29 + 6 = 26₂₉.
-> V soustavě se základem 30 je 64₁₀ = 2.30 + 4 = 24₃₀.
-> V soustavě se základem 31 je 64₁₀ = 2.31 + 2 = 22₃₁.
-> V soustavě se základem 32 je 64₁₀ = 2.32 + 0 = 20₃₂.
-> V soustavě se základem 33 je 64₁₀ = 1.33 + 31 = 1,31₃₃.

♦ Našel jsi nějaké nesmyslné zápisy? Které to jsou?
-> 64₁₀ = 4,12₁₃ = 3,13₁₇ = 3,10₁₈ = 2,20₂₂ = 2,18₂₃ = 2,16₂₄ =  2,14₂₅ = 2,12₂₆ = 2,10₂₇.

♦ Proč vyšly nesmyslné zápisy? Kolik cifer je třeba pro zápis čísla v číselné soustavě se základem n? Zamysli se nad používanými znaky v příslušné číselné soustavě.
-> V desítkové soustavě máme deset cifer (0, 1, 2, ..., 9), v soustavách se základem menším než 10, tj. v soustavách, v nichž postaršujeme, máme méně cifer než 10. Např. v pětkové soustavě je pět cifer (0, 1, 2, 3, 4). Pokud však "omlazujeme", má číselná soustava základ větší než deset, a proto je v ní i více než deset cifer. Například v šestnáctkové (hexadecimální) soustavě je pro zápis čísla nutných 16 cifer, obvykle se používá 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F místo cifer 0, 1, ..., 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, aby znak pro každou cifru obsadil pouze jednu pozici. V číselné soustavě se základem n je potřeba n cifer. Zápisům, v nichž by na pozici jednotek bylo dvojciferné číslo nebo nějaký dohodnutý znak, by většina lidí nerozuměla a vnímala by je jako nesmyslné. Například číslo 4,12, případně 4C (při dohodnutých cifrách 0, 1, 2, ..., A, B, C), zapsané v třináctkové soustavě by nebylo chápáno jako číslo vyjadřující věk.

♦ Jaký nejmenší věk může být při "omlazování" dosažen?
-> "Omlazování" provádíme volbou základu většího než je číslo 10. Vždy lze zvolit základ, který je roven věku omlazovaného. Např. můžeme zvolit základ 64 pro omlazování 64letého člověka. Pak je 64₁₀ = 1.64 + 0 = 10₆₄ . Volba většího základu vede k nesmyslnému zápisu. Soudíme proto, že nejmenším dosažitelným věkem je 10 let při základu rovném věku před omlazením.

♦ Jak starého člověka nelze omladit? Jak starého člověka nelze postaršit?
-> Z předchozího víme, že člověku starému n let umíme přiřadit věk 10 let. Zkusme proto "omladit" desetiletého žáka. Pro omlazení potřebujeme číselnou soustavu se základem větším než 10, např. 11. Ale v jedenáctkové soustavě je 10₁₀ = 0.11 + 10 = 0,10₁₁ a stejně nesmyslný zápis se získá pro vyšší základy. Z podobných důvodů nelze "snížit" věk dětí mladších deseti let.

♦ Jak starého člověka nelze postaršit?
-> "Postaršení" se provádí volbou číselné soustavy se základem menším než 10. Takovou soustavu lze vybrat pro každé číslo, proto "postaršit" lze vždy nezávisle na věku.

♦ Volbou vhodné číselné soustavy zajisti členům Tvé rodiny takový věk, s nímž by byli spokojeni.
-> Výsledky můžeš zkontrolovat v pdf-tabulce nebo zde.

Doporučený multimediální materiál

Ilustrativní fotografie k popisu aktivity.

Videoukázka k popisu aktivity.

Odkazy do internetu k pracovním listům, prezentacím, videím, animacím, apletům nebo jiným dostupným materiálům.

Ukázky práce žáků - výstupy činností - fotografie, záznamy měření, slovní popis a hodnocení aktivit ze strany žáků apod.