Náměty aktivit pro popularizaci matematiky

Řešení slovních úloh o pohybu pomocí softwaru dynamické geometrie

Slovní úlohy o pohybu náleží spolu s úlohami o směsích a o společné práci do výuky matematiky základních a středních škol. Při jejich řešení se zpravidla pro lepší orientaci používá nějaký náčrtek ilustrující zadanou situaci, samotné zjištění výsledku je však obyčejně provedeno výpočtem. Grafická metoda řešení by ale neměla být opomíjena, zvláště v případě některých úloh je možné ji vcelku vhodně využít. K tomu je však nutné využít některý z nástrojů dynamické geometrie, kupříkladu program GeoGebra (pro nekomerční užití zdarma dostupná na stránce http://www.geogebra.org), v níž uživatel může nejen konstruovat geometrické objekty, pracovat s geometrickými zobrazeními či například vyšetřovat průběhy funkcí, ale využívat ji i způsoby, které u dalších programů dynamické geometrie nejsou možné. Uživatel tak může vytvořit názorný interaktivní náčrt zadané situace a zkoumat změny, které nastanou při změně vstupních parametrů.

Příklad: Rozhodněte, zda mohou tři cestující stihnout vlak, který odjíždí za 75 minut ze stanice vzdálené 40 kilometrů, dokáže-li každý z nich běžet rychlostí 10 km/h a mají-li k dispozici dvoumístný motocykl, který může jet rychlostí 80 km/h. V případě, že vlak mohou stihnout, jak mají postupovat?

Řešení: Je zřejmé, že pokud má být úloha řešitelná, bude nejvhodnější zvolit následující způsob dopravy. Označme cestující A, B a C. Cestující A a B usednou na motocykl a vyrazí k nádraží rychlostí 80 km/h, zatímco cestující C běží k nádraží rychlostí 10 km/h. V určité vzdálenosti před nádražím sesedne cestující B z motocyklu a pokračuje dále v cestě rychlostí 10 km/h, zatímco cestující A se vrací pro cestujícího C. Toho naloží a následně rychlostí 80 km/h dojedou zbytek cesty k nádraží. Jak tato situace vypadá v grafickém znázornění, je vidět na obrázku.

Grafické znázornění situace (obrázek vlastní tvorby)

Modré úsečky znázorňují jízdu cestujícího A se spolujezdcem, fialová úsečka je cesta cestujícího A vracejícího se pro cestujícího B a zelené úsečky odpovídají pěší dopravě cestujících B a C. Z grafiky lze též vyčíst, že v tomto konkrétním případě vysadil cestující A cestujícího B 4 kilometry před nádražím, vyrazil naproti cestujícímu C, s nímž se setkal 8 kilometrů od startovní pozice a následně se oba bezpečně dostali do 40 kilometrů vzdáleného nádraží 72 minut po vyjetí. Vysazený cestující B mezitím doběhl na nádraží dokonce 51 minut od začátku měření. Všichni tři v tomto případě vlak bez problémů stihli.

Interaktivní figura odpovídající zadání příkladu je k nalezení v sekci Multimédia k badatelské aktivitě. Lze v ní pohybovat posuvníkem s názvem vysazení, čímž je měněna vzdálenost, v níž je z motocyklu vysazen cestující B. Experimentováním pak lze nalézt množinu přípustných řešení včetně extrémních případů, kdy motocykl s cestujícími A a C nebo vysazený cestující B dorazí na nádraží na poslední chvíli, případně lze zkoumat i situace, kdy se některý z cestujících opozdí a vlak nestihne.

Pro úplnost uveďme, že oněmi extrémními případy jsou vysazení cestujícího B 8 kilometrů před nádražím, v takovém případě dorazí A s C na nádraží v 68. minutě a cestující B 3 minuty před odjezdem vlaku, a vysazení B 2 kilometry před nádražím, v takové situaci doběhne B do cíle ve 41. minutě a A s C přijedou na motocyklu v 75. minutě, nicméně vlak by ještě stihnout měli. Pokud je cestující B vysazen kdekoliv v tomto rozmezí (8-2 kilometry od nádraží), všichni tři vlak stihnou, je-li cestující B vysazen dříve, vlak nestihne, je-li naopak vysazen později, nedorazí na nádraží včas cestující A a C.

Dodejme ještě, že při zjemnění hodnot dosažitělných posuvníkem (je nastaven na celé kilometry, je však možné nastavit citlivost na desetiny nebo setiny kilometrů) dojde ke zpřesnění výše uvedených hodnot.

Obdobnými způsoby lze samozřejmě řešit i další slovní úlohy o pohybu, pro ilustraci uvádíme některá další zadání podobných příkladů:

Příklad: Za vozidlem s nadměrným nákladem pohybujícím se rychlostí 16km/h vyrazilo za 2,5 hodiny doprovodné vozidlo, které je musí dostihnout nejpozději do 45 minut. Jakou musí (resp. může) jet rychlostí?

Příklad: Železniční trať z Prahy do Olomouce je dlouhá 250 kilometrů. V 6:00 vyjel z Prahy do Olomouce rychlík rychlostí 85 km/h, o čtvrt hodiny později vyrazil opačným směrem z Olomouce do Prahy osobní vlak rychlostí 65 km/h. V kolik hodin a jak daleko od Prahy se oba vlaky potkají?

Příklad: Z města A do města B vzdáleného 60 kilometrů vyrazili tři kamarádi. K dispozici měli dvojmístný motocykl, který jel rychlostí 60 km/h. Pěšky šel každý z nich rychlostí 5 km/h. Kamarádi se rozhodli pro následující způsob přepravy: Dva z nich vyrazí k městu B na motocyklu, třetí půjde pěšky. Několik kilometrů před městem B řidič motocyklu vysadí spolujezdce, který bude do města B pokračovat sám pěšky, a vrátí se k městu A pro třetího kamaráda, kterého pak na motocyklu doveze až do města B. Všichni tři dorazí do města B najednou. Kde má řidič prvního spolujezdce vysadit? Za jak dlouho všichni dorazí do města B?

Příklad: Města K, L a M leží za sebou na téže silnici, vzdálenost K od L je 14 km. Ve 13 hodin vyjel z L směrem k M cyklista rychlostí 12 km/h, nato ve 14 hodin 10 minut vyjelo z K rovněž směrem k M osobní auto rychlostí 68 km/h. Konečně ve 14 hodin 20 minut vyjelo z M směrem k L nákladní auto rychlostí 45 km/h. Všichni tři se na silnici setkali ve stejném okamžiku. Kdy došlo k setkání a v jaké vzdálenosti od L to bylo?

Příklad: V 9 hodin vyjel z Plzně cyklista směrem na Tábor rychlostí 20 km/h. O hodinu později za ním vyrazil jezdec na mopedu a o další hodinu později osobní automobil, který jel dvojnásobnou rychlostí než mopedista. Automobil pak dojel moped v té samé chvíli, kdy míjel cyklistu. Určete, v kolik hodin a jak daleko od Plzně k tomu došlo.