Historie a popis metody Monte-Carlo

Příklad

Je dán jednotkový čtverec, ve kterém je vepsána kruhová výseč (viz obrázek). Geometrickým přístupem experimentálně stanovte hodnotu Ludolfova čísla π.

Definujme jev A – náhodně vybraný bod jednotkového čtverce leží v kruhové výseči.

Je zřejmé, že na základě geometrické pravděpodobnosti můžeme pro pravděpodobnost jevu A psát:

Nyní je třeba provést sérii náhodných pokusů – výběr náhodného bodu X z jednotkového čtverce. Bod X je určen dvěma nezávislými rovnoměrně rozdělenými souřadnicemi x a y, kde 0 ≤ x ≤ 1 a 0 ≤ y ≤ 1. Konkrétní realizace souřadnic x a y lze získat v Excelu pomocí funkce NÁHČÍSLO, jež generuje rovnoměrně rozdělená náhodná čísla z intervalu ‹0; 1).

Máme-li vygenerovány dvojice souřadnic x a y, můžeme přistoupit k rozhodnutí, zda nastal úspěch (bod leží v kruhové výseči) či neúspěch. Je zřejmé, že pro vzdálenost d bodu X [x; y] od počátku souřadnicového systému platí:

Úspěch tedy nastane tehdy, bude-li pro i-tý bod platit:

neboť poloměr výseče je roven 1.

Nastane-li v n pokusech m úspěchů, kde m ≤ n, můžeme pro pravděpodobnost jevu A psát:

Dostáváme tedy:

Je třeba ovšem pamatovat na to, že ve všech případech se jedná o bodový odhad hodnoty π. Seznámili jsme se se základními principy metody Monte Carlo, nyní nás bude zajímat, jaká je přesnost odhadu metodou Monte Carlo. Uvažujme přístup založený na geometrické pravděpodobnosti. Při tomto přístupu realizujeme náhodný pokus, při kterém může nastat buď úspěch, nebo neúspěch. Jedná se tedy o Bernoulliho pokusy (nezávislé pokusy mající pouze dva možné výsledky – úspěch a neúspěch, pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je konstantní), kdy neznáme pravděpodobnost úspěchu, ale chceme ji na základě experimentu stanovit. Zaveďme proměnnou δi, která v případě úspěchu nabude hodnoty 1 a v případě neúspěchu hodnoty 0.

Definujme proměnnou M:

kde n je počet realizovaných pokusů. Proměnná M se řídí binomickým rozdělením; pro pravděpodobnost, že v n pokusech nastane právě m úspěchů, platí:

kde 0 < p < 1 je pravděpodobnost úspěchu.

Pro střední hodnotu a rozptyl binomické náhodné proměnné platí:

Uvažujeme nyní proměnnou . Z vlastností střední hodnoty a rozptylu plyne:

Při dalším odvozování použijeme Čebyševovu nerovnost: Nechť X je náhodná proměnná s libovolným, obecně neznámým rozdělením, s konečnou střední hodnotou EX a rozptylem DX. Potom pro libovolně malé ε > 0 platí:

Položme a dosaďme do Čebyševovy nerovnosti odvozené vztahy pro 

Tato nerovnost je nazývána Bernoulliho nerovnost.

Bernoulliho nerovnost můžeme zjednodušit na základě skutečnosti, že:

potom dostaneme:

Informace ke stažení ve formátu pdf zde.