Historie a popis metody Monte-Carlo

V této části si uvedeme některé zajímavé informace o tom, jak metoda vznikla a k jakým účelům byla využívána.

Historicky prvním příkladem použití principu metody Monte Carlo je tzv. Buffonova úloha, jež je úlohou vztahující se ke geometrické pravděpodobnosti: V rovině jsou narýsovány rovnoběžky, jejichž vzájemná vzdálenost je rovna L. Zajímá nás pravděpodobnost, že náhodně vržená jehla o délce l < L protne některou přímku. Uvažujme, že rovnoběžky jsou rovnoběžné s osou x. Označme d vzdálenost středu jehly od nejbližší rovnoběžky a α úhel, který svírá jehla s danou rovnoběžkou (viz obrázek). Poloha jehly je tedy určena bodem o souřadnicích [d; α], kde 

Z obrázku je zřejmé, že jehla protne příslušnou rovnoběžku, pokud bude platit: 

Hozením jehly mohou nastat dva případy:

– Jehla protne příslušnou rovnoběžku – úspěch.

– Jehla neprotne příslušnou rovnoběžku – neúspěch.

Oblast příznivých výsledků vymezená nerovností 

Pravděpodobnost toho, že jehla protne rovnoběžku, stanovíme podle geometrické definice pravděpodobnosti:

Tuto pravděpodobnost můžeme odhadnout na základě znalosti Bernoulliho věty, která nám říká, že relativní četnost nějakého jevu stochasticky konverguje k jeho pravděpodobnosti, můžeme tedy pro odhad pravděpodobnosti psát:

kde m značí počet úspěšných pokusů (jehla protnula rovnoběžku) a n značí počet všech realizovaných pokusů. Můžeme tedy psát:

z čehož úpravami získáme:

Realizujeme-li dostatečný počet pokusů, lze výše uvedený vztah využít k experimentálnímu stanovení hodnoty Ludolfova čísla π.

Samotná metoda Monte Carlo byla formulována a prakticky použita J. von Neumannem a S. Ulamem při vývoji atomové bomby b ěhem 2. sv ětové války. Při výzkumu chování neutron ů bylo třeba vyřešit problém, jaké procento neutron ů v určité spršce pronikne n ějakou překážkou, např.. nádrží vody určitých rozm ěrů. Při řešení tohoto problému předpov ědi života neutronu byla použita technika kola rulety, odtud plyne i název metody. Např.. je známo, že při srážce neutronu a atomu vodíku je neutron pohlcen prů m ěrn ě v jednom ze sta případů. Při stanovení toho, zda bude neutron pohlcen či nikoliv, je možno použít kolo rulety rozd ělené na 100 dílků, přičemž 1 ozna čený dílek bude znamenat pohlcení neutronu. V případ ě, že nedojde k zániku neutronu, se pomocí dalšího kola rulety náhodn ě stanoví trajektorie neutronu do další srážky. Takto se postupuje do té doby, než dojde k zániku neutronu nebo k jeho průchodu překážkou. Je zřejmé, že realizovat tento experiment pomocí skute čných kol rulet by bylo prakticky nerealizovatelné. V té dob ě byl však již k dispozici po číta č, pomocí kterého bylo možno tento experiment realizovat. Metoda Monte Carlo je numerickou metodou založenou na vztahu mezi pravd ěpodobnostními charakteristikami různých náhodných procesů a veličinami, které jsou řešením studovaných úloh.

Princip metody tedy spočívá v následujících bodech:

1) Formulace nové úlohy mající náhodný charakter, jejíž řešení se shoduje s řešením původní úlohy.

2) Řešení nové úlohy pomocí statistických experimentů.

Metodu Monte Carlo lze použít např.. při řešení určitých integrálů (zejména vícerozměrných) nebo při řešení soustav rovnic.

Existují dva možné přístupy při řešení úloh metodou Monte Carlo:

1) Geometrická metoda založená na geometrické pravděpodobnosti.

2) Výpočet založený na odhadu střední hodnoty náhodné proměnné.

ad 1) S geometrický přístupem jsme se již setkali v rámci Buffonovy úlohy. Nyní si na dvou jednoduchých příkladech ukážeme, jakým jiným způsobem lze experimentálně stanovit hodnotu π a jak lze řešit jednoduchý určitý integrál. Při řešení využijeme generátor pseudonáhodných čísel software Microsoft Excel (funkce NÁHČÍSLO).