Badatelské metody v matematice

Výzkum v matematice?

Podívejme se na základní sborník matematických výzkumných prací – americký časopis Review. Tento měsíčník obsahuje výtahy z matematických prací. Zjednodušeně řečeno, několik odstavců z  přibližně pěti stran práce. Každý měsíc je  tam publikováno asi 400 velkých stran abstraktů matematických prací. To je skutečně zlatý věk matematiky, a to jak v množství, tak v kvalitě.

Cílem výzkumu v matematice jsou výsledky na různých úrovních. Jedním z nich je pokrok ve znalostech o jednotlivých typech konstrukcí, které jsou již dobře definované. Dalším je zavedení studie nových konstrukcí, které byly objeveny v průběhu tvorby nových přístupů. K dispozici jsou nové vztahy mezi strukturami. Tyto vztahy vedou k zjednodušení, chceme najít struktury, které vysvětlují dané procesy a pomáhají nám porozumět tomu, jak jednotlivé struktury chovají samostatně a jaký mají vztah k jiným strukturám.

Co může být pro nováčka v této oblasti a pro širokou veřejnost obtížné pochopit, je to, jak vlastně funguje matematický výzkum. Dále popíšeme čtyři způsoby matematického výzkumu. Existuje jistě mnoho dalších a každý jednotlivec výzkumník si musí nakonec navrhnout svou vlastní strategii pro úspěch. Je také obtížné zjistit, kolik je třeba vědět před zahájením matematického výzkumu. Slavná odpověď na tuto konkrétní otázku je: "Všechno, nebo nic."

Metoda 1: Použití standardní metody na standardní typ problému.

Pokud člověk dostatečně zvládá standardní metodu, je to zcela jistě zárukou úspěchu. Tato metoda je pravděpodobně součástí každého úspěšného výzkumného projektu. Skutečně, obvyklá metoda matematického výzkumu se snaží nejdříve  upravit problém, který se řeší. V případě, že původní problém je příliš složitý, pak standardní strategie je zjednodušení problému tak, aby se stal standardním typem (tedy typem, který je řešen pomocí běžných postupů). Jde tedy o to, převést řešení problému na posloupnost řešení standardních problémů.

Při práci na řešení standardních situací a problémů ovšem může nastat situace, kdy se objeví nové myšlenky, které mohou vytvořit i nové velké inspirativní teorie. Proto nám může i standardní situace přinést pokrok v řešení důležitých, ještě neřešených úloh.

Tento způsob výzkumu je nejvíce rozšířený. Je ovšem ve většině případů zaměřen na postupné řešení parciálních problémů. Pomocí takovýchto řešení získáme mnohdy větší pokrok než ostatními metodami.

Při výuce matematiky velmi často získáváme znalosti pomocí řešení mnoha podobných příkladů, abychom posléze standardní situace byli schopni poznat a řešit.

Metoda 2: Řešení problému na hranicích znalostí

Toto je zajisté metoda, kterou by si chtěli vyzkoušet všichni. Nicméně úspěšně se ji podaří použít  jen některým. Většinou jde o inovátorský, nikde ještě nepoužitý postup. V případě, že funguje, je jisté, že autora nemine sláva z výrazného pokroku. Příkladem může být například postup Galoise v případě řešení problematiky polynomiálních rovnic. Jeho postup nejenže vyřešil daný problém, ale vedl ke vzniku nové vědní disciplíny – teorie grup.

Takových případů je relativně mnoho. Také  čeští matematici se mohou radovat z podobných postupů. O výrazný pokrok ve svých disciplínách se mimo jiné zasloužili takové osobnosti, jako Eduard Čech, Jindřich Nečas, Svatopluk Fučík.

Daná metoda je snadno poznatelná. Při citacích zásadních myšlenek nebo článků se objevují stále stejné, většinou mnoho let staré. Po úmrtí autora zjistíte, že index citovanosti spíše vzrostl než klesl.

Metoda 3 : Aplikace nových znalostí matematiky do různých vědních disciplín

Tato metoda je vhodná pro případ, že jsme aspoň částečným odborníkem v další vědní disciplíně nebo že jsme členem kolektivu s autory z dané vědní oblasti. Druhý postup je v současné době velmi používaný. Existují kolektivy, které mají až několik set členů. Každý přispívá nějakou podstatnější informací. Klasickým případem jsou kolektivy zařízení CERN.

Možnost využít tuto metodu zásadním způsobem obohatí cíle daného vědce a mnohdy mu pomůže oklikou řešit ryze matematické problémy, které ho zajímají.

Takovouto metodu využívají hlavně začátečníci, kteří jsou ve své práci částečně vedeni například pomocí svých disertačních prací. Problematiku, kterou jim školitel předloží, musí zpracovat dokonale, protože školitel většinou ví, jaká je odpověď na danou problematiku, ale nechce pracovat na detailech řešení.

Metoda 4: „Stavba na zelené louce“

V tomto případě nemáme před sebou konkrétní problém, který potřebujeme řešit, ale zdá se, že je nutné vymyslet nové struktury spolu se zákonitostmi, které jsou určené pro pochopení jejich funkce. Důležité ovšem je, zda existuje reflexe nových struktur na některé více nebo méně známé problémy. Dalším zásadním problémem je přijetí nových postupů matematiky.

Velkým příkladem je například teorie derivování a integrování Newtonova, která pro svou těžkopádnost byla nahrazena Leibnitzovým přístupem. Takových zkušeností je celá řada. V českém prostředí je známý případ metody práce s varietami prof. Černého (byl ovlivněn polským matematikem Sierpinským ).

Pokud tedy vytvoříte jakoukoli práci pomocí některé z výše uvedených čtyř metod, víme, že existuje přesný faktor, který posoudí zásadní užitečnost vašich myšlenek. Je to čas. Pokud byly výsledky zásadní, jsou přijaty do klasického aparátu matematiky (Galois). V ostatních případech je vhodným aparátem k posouzení citační index, i když můžeme mít výhrady k jeho stálému používání.

Ještě několik slov na závěr. Paradoxně musíme v průběhu své výzkumné práce v mnoha situacích nejdříve zvládnout přijetí vlastního neúspěchu. Pokud jsme dosud na žádný neúspěch nenarazili, pak je skoro jisté, že jsme si stanovili cíle, které jsou příliš plytké nebo jednoduché. Každý výzkum nese s sebou rizika. Musíme mít dobrou strategii pro případy selhání. Je nutné takové stavy překonat. Proto je podstatné provést řádnou a správnou analýzu příčin selhání a srovnání těchto důvodů s tím, kam chceme svou práci posunout.

Závěr

Existuje názor, že již neexistují žádné další velké problémy matematiky, které mají být vyřešeny. Tento pohled je srovnatelný s pohledem těch, kteří tvrdili na počátku minulého století, že fyzika je uzavřená věda, v níž se podařilo vyřešit všechny její problémy.

Máme spíše pocit, že matematika prochází revolucí. Uvedeme dva zdroje takové revoluce.

První je v nasazení výpočetní techniky. Mnoho problémů je řešeno právě pomocí výpočetní techniky přímým výpočtem. Některé problémy by jinak v reálném čase nešly vyřešit. Na základě vlastností výpočetní techniky byly široce rozvinuty nové přístupy například v numerické matematice. Objevil se ovšem i konkrétní matematický software, který může manipulovat se symboly a axiomy a další software, který může provádět automatické uvažování. V zásadě by měly dát matematikům možnost počítat a uvažovat o problémech, které by srovnávacími metodami nemohli vůbec řešit (příkladem jsou software Mathematica, Maple). Jejich potenciální vliv na výuku matematiky jsme ještě  nebyli schopni hodnotit, i když je již vytvořeno mnoho standardních výukových modulů zpracovaných těmito programy. Jejich vliv na výzkum i výuku matematiky je ovšem stále zásadnější. Pomáhá v některých přístupech přejít přes obtížnou problematiku zjednodušování problémů.

Druhým zdrojem je matematika sama. Klademe velký důraz na matematiku jako studium struktury. Teorie kategorií odhaluje nové přístupy k základním pojmům matematiky, jako jsou logika a teorie množin. Tyto myšlenky jsou také důležité pro pokrok vědy o počítačích.

Nicméně stále existuje mnoho současných nebezpečí pro matematiku. Obecně se málo hodnotí  to, co matematici dosáhli, a tím se i snižuje význam matematiky. Je proto nutné ve výuce přesně definovat a vymezit předmět matematiky tak, aby studenti, veřejnost, podniky i vláda uznali větší  důležitost výsledků matematiky. Mnohdy se to děje jen formálně jistými proklamacemi. V součastné době je možné, aby student získal vzdělání v oboru matematika, aniž by měl jakékoli ponětí o výzkumu v našem oboru.

Dalším nebezpečím je rostoucí závislost na počítačích jako černé skříňce, která dává odpověď bez pochopení procesů. Matematický základ problémů je zanedbáván a možná nedokáže být vyvinut. Říká se, že některé strojírenské firmy jsou osvobozeny od svých matematických oddělení výzkumu ve prospěch inženýrů s manipulací softwarových balíků. Bude to stačit pro bezpečnost a spolehlivost výrobku?

Mohou existovat způsoby, jak urychlit proces přechodu z koncepční prozíravosti matematika k realizaci ve vědecké nebo technologické aplikace. Chceme-li je najít, musíme ve společnosti nalézt skutečné pochopení práce matematiků. Naší povinností je pomáhat s propagací vědeckých výsledků matematiky tak, aby její prestiž stále rostla a byla užívána skutečně tak, že jak má být.

Literatura:

M. ARTIGUE, The teaching and learning of mathematics, at the university level: Crucial questions for contemporary research in education, Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), 1377–1385.

M. ASIALA, A. BROWN, D. DE VRIES, E. DUBINSKY, D. MATHEWS, and K. THOMAS, A framework for research and curriculum development in undergraduate mathematics education, Research in Collegiate Mathematics Education (J. Kaput, A. Schoenfeld, and E. Dubinsky, eds.), vol. II, Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, pp. 1–32

A. H. SCHOENFELD, Mathematical Problem Solving, Academic Press, Orlando, FL, 1985